Considérons l’application g : S → R , x → f (x) − x .
g est continue comme différence de deux fonctions continues.
D’autre part, un réel x ∈ S vérifie f (x) = x si, et seulement si, g(x) = 0.
On a g(a) = f (a) − a. Or, par hypothèse, f (a) ∈ [a,b] (car f est à valeurs
dans [a,b]) donc f (a) a : on a donc g(a) 0. De même, f (b) ∈ [a,b]
donc f (b) b et g(b) 0.
L’application g est continue sur l’intervalle [a,b] et les réels g(a) et g(b)
sont de signes contraires : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il
existe un élément c de [a,b] tel que g(c) = 0, i.e. f (c) = c.
2. Cette question est double : existence et unicité de c. Comme souvent dans ce cas,
pour simplifier le raisonnement, il est souhaitable de dissocier ces deux questions
dans la résolution.
Encore une fois il peut être intéressant de faire un dessin pour visualiser la propriété :
120
Partie 2 • Analyse
0
0
1
1
2
2
y = x
y = f (x)
c
c
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
y = x
y = f (x)
c
c
– 1
– 2
– 3
– 4
9782100547678-Fresl-C6.qxd 5/07/10 9:18 Page 120