Existence : posons de la même manière g(x) = f (x) − x pour x ∈ R. g est continue comme différence de fonctions continues et on veut monter qu’elle s’annule.
La situation est différente de celle de la première question : on n’a pas de renseignement sur les valeurs de g en des points particuliers. On peut en revanche s’intéresser aux limites de g en +∞ et −∞.
Posons, pour x ∈ R, g(x) = f (x) − x.
La fonction f étant décroissante sur R elle possède une limite en +∞ qui
est éventuellement −∞ (théorème de la limite monotone pour les fonctions). On a donc lim
x→+∞
g(x) = −∞.
De même, f a une limite en +∞ qui est éventuellement +∞. On en déduit
que lim
x→−∞
g(x) = +∞.
L’ensemble g(R) est un intervalle car R est un intervalle et g est continue
(théorème des valeurs intermédiaires).
g(R) n’est pas majoré (car g tend vers +∞ en −∞) et n’est pas non plus
minoré (car g tend vers −∞ en +∞).
Le seul intervalle qui ne soit ni majoré ni minoré est R : on a donc
g(R) = R.
g prend toutes les valeurs réelles, en particulier la valeur 0 : il existe un réel
c tel que g(c) = 0 et on a alors f (c) = c.
Unicité : soit (c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 tel que f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 . Nous voulons montrer
que c 1 = c 2 .
Pour cela, n’oublions pas qu’il y a une hypothèse de monotonie sur f : elle est
décroissante. Nous allons donc introduire la relation d’ordre en supposant, par
exemple, que c 1 c 2 .
Soit (c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 tel que f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 .
Supposons c 1 c 2 . f étant décroissante, f (c 1 ) f (c 2 ) donc c 1 c 2 , d’où
c 1 = c 2 .
De même, si c 1 c 2 , on obtient que c 1 = c 2 .
Dans tous les cas on a c 1 = c 2 , ce qui montre l’unicité de c.
On remarque que l’hypothèse de décroissance de f a servi deux fois dans des situations complètement différentes : pour l’existence du point fixe, via le théorème de
la limite monotone, et pour l’unicité.
Le résultat ne s’étend pas aux fonctions croissantes comme on le voit en considérant la fonction exponentielle.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
121
Chapitre 6 • Fonctions continues
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La situation est différente de celle de la première question : on n’a pas de renseignement sur les valeurs de g en des points particuliers. On peut en revanche s’intéresser aux limites de g en +∞ et −∞.
Posons, pour x ∈ R, g(x) = f (x) − x.
La fonction f étant décroissante sur R elle possède une limite en +∞ qui
est éventuellement −∞ (théorème de la limite monotone pour les fonctions). On a donc lim
x→+∞
g(x) = −∞.
De même, f a une limite en +∞ qui est éventuellement +∞. On en déduit
que lim
x→−∞
g(x) = +∞.
L’ensemble g(R) est un intervalle car R est un intervalle et g est continue
(théorème des valeurs intermédiaires).
g(R) n’est pas majoré (car g tend vers +∞ en −∞) et n’est pas non plus
minoré (car g tend vers −∞ en +∞).
Le seul intervalle qui ne soit ni majoré ni minoré est R : on a donc
g(R) = R.
g prend toutes les valeurs réelles, en particulier la valeur 0 : il existe un réel
c tel que g(c) = 0 et on a alors f (c) = c.
Unicité : soit (c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 tel que f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 . Nous voulons montrer
que c 1 = c 2 .
Pour cela, n’oublions pas qu’il y a une hypothèse de monotonie sur f : elle est
décroissante. Nous allons donc introduire la relation d’ordre en supposant, par
exemple, que c 1 c 2 .
Soit (c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 tel que f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 .
Supposons c 1 c 2 . f étant décroissante, f (c 1 ) f (c 2 ) donc c 1 c 2 , d’où
c 1 = c 2 .
De même, si c 1 c 2 , on obtient que c 1 = c 2 .
Dans tous les cas on a c 1 = c 2 , ce qui montre l’unicité de c.
On remarque que l’hypothèse de décroissance de f a servi deux fois dans des situations complètement différentes : pour l’existence du point fixe, via le théorème de
la limite monotone, et pour l’unicité.
Le résultat ne s’étend pas aux fonctions croissantes comme on le voit en considérant la fonction exponentielle.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Fonctions continues
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