De plus, même quand un point fixe existe, il n’est pas forcément unique : il suffit de
prendre pour f l’application identité.
3. Rappelons que toute fonction lipschitzienne est continue. Nous allons suivre le
même schéma que pour la question précédente : séparer l’existence et l’unicité et
utiliser les limites à l’infini de f (x) − x pour appliquer le théorème des valeurs
intermédiaires.
Existence : posons, pour x réel, g(x) = f (x) − x. g est continue comme différence
de fonctions continues. Pour déterminer les limites de g à l’infini on peut transformer la valeur absolue en encadrement.
On sait que, pour tous réels x et y, | f (x) − f (y)| k|x − y|.
• Avec y = 0 et x 0 on obtient | f (x) − f (0)| kx, soit
−kx f (x) − f (0) kx et enfin f (0)−(1+k)x g(x) f (0)+(k −1)x.
Comme k − 1 < 0 le membre de droite tend vers −∞ quand x tend vers
+∞ d’où : lim
x→+∞
g(x) = −∞.
• Avec y = 0 et x 0 on a |x| =−x d’où l’inégalité | f (x)− f (0)| −kx
puis l’encadrement f (0) + (k − 1)x g(x) f (0) − (k + 1)x. Comme
k − 1 < 0 le membre de gauche tend vers +∞ quand x tend vers −∞
d’où : lim
x→−∞
g(x) = +∞.
L’argument de la question précédente s’applique mot pour mot :
L’ensemble g(R) est un intervalle car R est un intervalle et g est continue
(théorème des valeurs intermédiaires).
g(R) n’est pas majoré (car g tend vers +∞ en −∞) et n’est pas non plus
minoré (car g tend vers −∞ en +∞).
Le seul intervalle qui ne soit ni majoré ni minoré est R : on a donc
g(R) = R.
g prend toutes les valeurs réelles, en particulier la valeur 0 : il existe un réel
c tel que g(c) = 0 et on a alors f (c) = c.
Unicité : soient c 1 et c 2 deux points fixes de f. La relation | f (x)− f (y)| k|x − y|
est vraie pour tous les réels x et y. Cependant, les réels c 1 et c 2 sont particuliers car
f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 : nous allons donc écrire cette relation avec x = c 1 et
y = c 2 .
Soit (c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 tel que f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 .
Alors | f (c 1 ) − f (c 2 )| k|c 1 − c 2 | car f est k-lipschitzienne.
Or f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 d’où : |c 1 − c 2 | k|c 1 − c 2 |.
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Partie 2 • Analyse
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prendre pour f l’application identité.
3. Rappelons que toute fonction lipschitzienne est continue. Nous allons suivre le
même schéma que pour la question précédente : séparer l’existence et l’unicité et
utiliser les limites à l’infini de f (x) − x pour appliquer le théorème des valeurs
intermédiaires.
Existence : posons, pour x réel, g(x) = f (x) − x. g est continue comme différence
de fonctions continues. Pour déterminer les limites de g à l’infini on peut transformer la valeur absolue en encadrement.
On sait que, pour tous réels x et y, | f (x) − f (y)| k|x − y|.
• Avec y = 0 et x 0 on obtient | f (x) − f (0)| kx, soit
−kx f (x) − f (0) kx et enfin f (0)−(1+k)x g(x) f (0)+(k −1)x.
Comme k − 1 < 0 le membre de droite tend vers −∞ quand x tend vers
+∞ d’où : lim
x→+∞
g(x) = −∞.
• Avec y = 0 et x 0 on a |x| =−x d’où l’inégalité | f (x)− f (0)| −kx
puis l’encadrement f (0) + (k − 1)x g(x) f (0) − (k + 1)x. Comme
k − 1 < 0 le membre de gauche tend vers +∞ quand x tend vers −∞
d’où : lim
x→−∞
g(x) = +∞.
L’argument de la question précédente s’applique mot pour mot :
L’ensemble g(R) est un intervalle car R est un intervalle et g est continue
(théorème des valeurs intermédiaires).
g(R) n’est pas majoré (car g tend vers +∞ en −∞) et n’est pas non plus
minoré (car g tend vers −∞ en +∞).
Le seul intervalle qui ne soit ni majoré ni minoré est R : on a donc
g(R) = R.
g prend toutes les valeurs réelles, en particulier la valeur 0 : il existe un réel
c tel que g(c) = 0 et on a alors f (c) = c.
Unicité : soient c 1 et c 2 deux points fixes de f. La relation | f (x)− f (y)| k|x − y|
est vraie pour tous les réels x et y. Cependant, les réels c 1 et c 2 sont particuliers car
f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 : nous allons donc écrire cette relation avec x = c 1 et
y = c 2 .
Soit (c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 tel que f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 .
Alors | f (c 1 ) − f (c 2 )| k|c 1 − c 2 | car f est k-lipschitzienne.
Or f (c 1 ) = c 1 et f (c 2 ) = c 2 d’où : |c 1 − c 2 | k|c 1 − c 2 |.
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Partie 2 • Analyse
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