Si c 1 = / c 2 alors |c 1 − c 2 | > 0 d’où, en divisant la relation précédente par
|c 1 − c 2 | : k 1, ce qui contredit k ∈ [0,1[.
Ainsi, c 1 = c 2 , ce qui montre que le réel c vérifiant f (c) = c est unique.
Dans le cours sur les fonctions dérivées vous verrez que si f est dérivable sur R et
que, pour tout réel x, | f (x)| k, alors f est k-lipschitzienne (ce sera une conséquence immédiate de l’inégalité des accroissements finis). Ceci permet de vérifier
à peu de frais qu’une application (supposée dérivable) est k-lipschitzienne.
Par exemple, avec f (x) =
1
2
cos(x), on a f
(x) = −
1
2
sin(x) : f est donc
1
2
-lipschitzienne et il existe donc un unique réel c tel que
1
2
cos(c) = c. L’étude précise de ce
point fixe est abordée dans l’exercice 5.10.
Exercice 6.2 : Équation fonctionnelle
Soit f : R → R, continue, telle que, pour tout (x,y) ∈ R 2 , f (x + y) = f (x)+ f (y) .
On souhaite montrer que, pour tout x ∈ R, f (x) = x f (1).
1. Démontrer que, pour tout n ∈ N, f (n) = n f (1). Montrer que ceci reste vrai
pour n ∈ Z.
2. En déduire que, pour tout x ∈ Q, f (x) = x f (1) .
3. Conclure.
Le fait que l’on demande de calculer d’abord les valeurs de f aux points entiers suggère de débuter par une récurrence.
Pour passer des valeurs de f (x) avec x rationnel aux valeurs de f (x) avec x réel
quelconque on utilisera la densité de Q dans R. En effet, nous savons que tout réel
est limite d’une suite de rationnels. L’hypothèse de continuité sur f permettra, à
l’aide de la caractérisation séquentielle de la continuité, d’en déduire le résultat
voulu.
1. Calcul de f (n) pour n ∈ N
∈ N
Le résultat étant donné par l’énoncé, posons directement l’hypothèse de récurrence.
Afin d’alléger la rédaction posons a = f (1).
Pour n ∈ N on pose H n : « f (n) = an ».
• H 0 est vraie : nous devons vérifier que f (0) = 0. En prenant x = y = 0
dans la définition il vient f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), soit f (0) = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Fonctions continues
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|c 1 − c 2 | : k 1, ce qui contredit k ∈ [0,1[.
Ainsi, c 1 = c 2 , ce qui montre que le réel c vérifiant f (c) = c est unique.
Dans le cours sur les fonctions dérivées vous verrez que si f est dérivable sur R et
que, pour tout réel x, | f (x)| k, alors f est k-lipschitzienne (ce sera une conséquence immédiate de l’inégalité des accroissements finis). Ceci permet de vérifier
à peu de frais qu’une application (supposée dérivable) est k-lipschitzienne.
Par exemple, avec f (x) =
1
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cos(x), on a f
(x) = −
1
2
sin(x) : f est donc
1
2
-lipschitzienne et il existe donc un unique réel c tel que
1
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cos(c) = c. L’étude précise de ce
point fixe est abordée dans l’exercice 5.10.
Exercice 6.2 : Équation fonctionnelle
Soit f : R → R, continue, telle que, pour tout (x,y) ∈ R 2 , f (x + y) = f (x)+ f (y) .
On souhaite montrer que, pour tout x ∈ R, f (x) = x f (1).
1. Démontrer que, pour tout n ∈ N, f (n) = n f (1). Montrer que ceci reste vrai
pour n ∈ Z.
2. En déduire que, pour tout x ∈ Q, f (x) = x f (1) .
3. Conclure.
Le fait que l’on demande de calculer d’abord les valeurs de f aux points entiers suggère de débuter par une récurrence.
Pour passer des valeurs de f (x) avec x rationnel aux valeurs de f (x) avec x réel
quelconque on utilisera la densité de Q dans R. En effet, nous savons que tout réel
est limite d’une suite de rationnels. L’hypothèse de continuité sur f permettra, à
l’aide de la caractérisation séquentielle de la continuité, d’en déduire le résultat
voulu.
1. Calcul de f (n) pour n ∈ N
∈ N
Le résultat étant donné par l’énoncé, posons directement l’hypothèse de récurrence.
Afin d’alléger la rédaction posons a = f (1).
Pour n ∈ N on pose H n : « f (n) = an ».
• H 0 est vraie : nous devons vérifier que f (0) = 0. En prenant x = y = 0
dans la définition il vient f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), soit f (0) = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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