L’astuce de calcul consistant à utiliser le fait que 0 = 0 + 0 est à essayer systématiquement lorsque l’on souhaite résoudre une équation fonctionnelle faisant
intervenir des additions.
Quand il y a des multiplications, c’est la relation 1 = 1 × 1 qui s’avérera souvent
bien utile.
Vous rencontrerez couramment ce type de considération dans les démonstrations
du cours d’algèbre.
• Soit n ∈ N tel que H n soit vraie : autrement dit, on suppose que
f (n) = an. Alors f (n + 1) = f (n) + f (1) (par définition de f). Or
f (n) = an (par hypothèse de récurrence) et f (1) = a (c’est la définition de
a) donc f (n + 1) = an + a = a(n + 1). H n+1 est donc vraie.
• Ainsi, d’après le principe de récurrence, H n est vraie pour tout entier naturel n.
Calcul de f (n) pour n ∈ Z
∈ Z
Nous avons ici besoin de calculer la valeur de f en des points connaissant sa valeur
aux points opposés. La définition de f fait intervenir des sommes : il faut donc relier
les opposés et les sommes, par exemple en utilisant le fait que n + (−n) = 0.
Soit n ∈ Z.
Si n 0, on sait que f (n) = an.
Sinon, −n ∈ N donc f (−n) = a × (−n) = −an .
D’autre part, 0 = f (0) = f (n + (−n)) = f (n) + f (−n) = f (n) − an ,
d’où f (n) = an.
Ce raisonnement peut paraître un peu laborieux mais il faut bien être conscient qu’il
est nécessaire : l’équation fonctionnelle de départ ne faisant intervenir qu’une addition il faut jongler pour faire apparaître une soustraction. Dans la suite nous aurons
le même problème avec des multiplications et des divisions qu’il faudra ramener à
des sommes pour utiliser l’équation fonctionnelle de départ.
2. Afin de calculer la valeur de f aux points rationnels il faut relier les nombres
rationnels aux nombres entiers en utilisant des sommes. En effet, la définition de f
fait intervenir les sommes mais pas les produits : aucune hypothèse concernant les
produits et quotients n’a été faite.
Soit x ∈ Q : x = p/q avec p ∈ Z et q ∈ N ∗ .
On a : p = ( p/q) + · · · + ( p/q) (q termes dans la somme) donc
f ( p) = f (( p/q) + · · · + ( p/q)) = f ( p/q) + · · · + f ( p/q)
(q termes dans la somme)
i.e. f ( p) = q f ( p/q) .
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Partie 2 • Analyse
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intervenir des additions.
Quand il y a des multiplications, c’est la relation 1 = 1 × 1 qui s’avérera souvent
bien utile.
Vous rencontrerez couramment ce type de considération dans les démonstrations
du cours d’algèbre.
• Soit n ∈ N tel que H n soit vraie : autrement dit, on suppose que
f (n) = an. Alors f (n + 1) = f (n) + f (1) (par définition de f). Or
f (n) = an (par hypothèse de récurrence) et f (1) = a (c’est la définition de
a) donc f (n + 1) = an + a = a(n + 1). H n+1 est donc vraie.
• Ainsi, d’après le principe de récurrence, H n est vraie pour tout entier naturel n.
Calcul de f (n) pour n ∈ Z
∈ Z
Nous avons ici besoin de calculer la valeur de f en des points connaissant sa valeur
aux points opposés. La définition de f fait intervenir des sommes : il faut donc relier
les opposés et les sommes, par exemple en utilisant le fait que n + (−n) = 0.
Soit n ∈ Z.
Si n 0, on sait que f (n) = an.
Sinon, −n ∈ N donc f (−n) = a × (−n) = −an .
D’autre part, 0 = f (0) = f (n + (−n)) = f (n) + f (−n) = f (n) − an ,
d’où f (n) = an.
Ce raisonnement peut paraître un peu laborieux mais il faut bien être conscient qu’il
est nécessaire : l’équation fonctionnelle de départ ne faisant intervenir qu’une addition il faut jongler pour faire apparaître une soustraction. Dans la suite nous aurons
le même problème avec des multiplications et des divisions qu’il faudra ramener à
des sommes pour utiliser l’équation fonctionnelle de départ.
2. Afin de calculer la valeur de f aux points rationnels il faut relier les nombres
rationnels aux nombres entiers en utilisant des sommes. En effet, la définition de f
fait intervenir les sommes mais pas les produits : aucune hypothèse concernant les
produits et quotients n’a été faite.
Soit x ∈ Q : x = p/q avec p ∈ Z et q ∈ N ∗ .
On a : p = ( p/q) + · · · + ( p/q) (q termes dans la somme) donc
f ( p) = f (( p/q) + · · · + ( p/q)) = f ( p/q) + · · · + f ( p/q)
(q termes dans la somme)
i.e. f ( p) = q f ( p/q) .
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Partie 2 • Analyse
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