Or f ( p) = ap, car p ∈ Z, donc f ( p/q) = ap/q.
Ainsi, pour tout nombre rationnel x, f (x) = ax.
3. Comme annoncé nous allons obtenir les valeurs de f en un point quelconque à
l’aide de deux caractérisations séquentielles : celle de la densité et celle de la continuité.
Soit x ∈ R. Q étant dense dans R il existe une suite (u n ) n∈N de rationnels
tendant vers x.
On a donc, f étant continue sur R : lim
n→∞
f (u n ) = f (x).
D’autre part, pour tout n ∈ N, f (u n ) = au n (car u n ∈ Q). On a donc
lim
n→∞
f (u n ) = lim
n→∞
au n = ax.
Par unicité de la limite, il vient f (x) = ax.
Ainsi, pour tout x ∈ R, f (x) = x f (1) .
Nous avons déjà rencontré des équations fonctionnelles dans la section Équations
différentielles. La démarche était radicalement différente.
Pour traiter une équation fonctionnelle, la méthode est dictée par l’hypothèse faite
sur la fonction inconnue f :
• si f est supposée dérivable : utiliser la dérivation pour faire apparaître une équation différentielle vérifiée par f. Les solutions sont alors données par le cours. Des
solutions parasites peuvent apparaître à cause de la dérivation, il faut donc ensuite
une étape de synthèse (voir exercice 3.2) ;
• si f est supposée continue : déterminer les valeurs de f aux points rationnels, en
commençant par les entiers. Conclure par densité de Q dans R à l’aide de la caractérisation séquentielle de la continuité.
Exercice 6.3 : Cordes universelles
Soit f une application continue de [0,1] dans R telle que f (0) = f (1). Soit un
entier n 2. Montrer qu’il existe un réel c n ∈ [0,1 − 1/n] tel que
f (c n ) = f (c n + 1/n).
Comme précédemment nous allons modifier l’expression donnée afin de reformuler la question sous la forme : « montrer qu’il existe un réel c n ∈ [0,1 − 1/n] tel que
g(c n ) = 0 », avec g une fonction continue. L’outil adapté sera alors le théorème des
valeurs intermédiaires.
Il n’y a qu’un choix naturel : prendre g(x) = f (x + 1/n) − f (x) pour
x ∈ [0,1 − 1/n].
Il reste à montrer que g est continue (ce qui est clair) et qu’elle prend des valeurs
positives et négatives afin de conclure par le théorème des valeurs intermédiaires.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
125
Chapitre 6 • Fonctions continues
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Ainsi, pour tout nombre rationnel x, f (x) = ax.
3. Comme annoncé nous allons obtenir les valeurs de f en un point quelconque à
l’aide de deux caractérisations séquentielles : celle de la densité et celle de la continuité.
Soit x ∈ R. Q étant dense dans R il existe une suite (u n ) n∈N de rationnels
tendant vers x.
On a donc, f étant continue sur R : lim
n→∞
f (u n ) = f (x).
D’autre part, pour tout n ∈ N, f (u n ) = au n (car u n ∈ Q). On a donc
lim
n→∞
f (u n ) = lim
n→∞
au n = ax.
Par unicité de la limite, il vient f (x) = ax.
Ainsi, pour tout x ∈ R, f (x) = x f (1) .
Nous avons déjà rencontré des équations fonctionnelles dans la section Équations
différentielles. La démarche était radicalement différente.
Pour traiter une équation fonctionnelle, la méthode est dictée par l’hypothèse faite
sur la fonction inconnue f :
• si f est supposée dérivable : utiliser la dérivation pour faire apparaître une équation différentielle vérifiée par f. Les solutions sont alors données par le cours. Des
solutions parasites peuvent apparaître à cause de la dérivation, il faut donc ensuite
une étape de synthèse (voir exercice 3.2) ;
• si f est supposée continue : déterminer les valeurs de f aux points rationnels, en
commençant par les entiers. Conclure par densité de Q dans R à l’aide de la caractérisation séquentielle de la continuité.
Exercice 6.3 : Cordes universelles
Soit f une application continue de [0,1] dans R telle que f (0) = f (1). Soit un
entier n 2. Montrer qu’il existe un réel c n ∈ [0,1 − 1/n] tel que
f (c n ) = f (c n + 1/n).
Comme précédemment nous allons modifier l’expression donnée afin de reformuler la question sous la forme : « montrer qu’il existe un réel c n ∈ [0,1 − 1/n] tel que
g(c n ) = 0 », avec g une fonction continue. L’outil adapté sera alors le théorème des
valeurs intermédiaires.
Il n’y a qu’un choix naturel : prendre g(x) = f (x + 1/n) − f (x) pour
x ∈ [0,1 − 1/n].
Il reste à montrer que g est continue (ce qui est clair) et qu’elle prend des valeurs
positives et négatives afin de conclure par le théorème des valeurs intermédiaires.
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