Considérons les valeurs de g aux extrémités :
g(0) = f (1/n) − f (0) et g(1 − 1/n) = f (1) − f (1 − 1/n).
Nous avons bien une hypothèse sur f (0) et f (1) mais le problème est que l’on a
ainsi fait apparaître f (1/n) et f (1 − 1/n) sur lesquels on ne sait absolument rien !
Afin de les faire disparaître, on peut leur additionner respectivement
g(1/n) = f (2/n) − f (1/n)
et
g(1 − 2/n) = f (1 − 1/n) − f (1 − 2/n)
mais on fait alors apparaître f (2/n) et f (1 − 2/n), etc.
Afin d’obtenir une somme « télescopique » où tous les termes se simplifient sauf
ceux qui nous intéressent (f (0) et f (1)) nous allons directement considérer
n−1
k=0
g(k/n) = ( f (1/n) − f (0))
+( f (2/n) − f (1/n))
+ · · ·
+( f (1 − 1/n) − f (1 − 2/n))
+( f (1) − f (1 − 1/n)).
Dans cette somme, les termes se simplifient deux à deux et il ne reste que
f (1) − f (0) qui est précisément nul par hypothèse.
Soit
g : [0,1 − 1/n] → R
x
→ f (x + 1/n) − f (x)
qui est clairement continue.
On a alors :
n−1
k=0
g(k/n) = f (1) − f (0) = 0.
Les g(k/n) ne peuvent donc tous être de même signe strict.
Ainsi, il existe deux entiers distincts l et m (disons l < m) compris entre 0
et n − 1 tels que g(l/n) et g(m/n) sont de signes opposés.
g étant continue sur [l/n,m/n] le théorème des valeurs intermédiaires
montre qu’il existe un réel c n ∈ [l/n,m/n] (a fortiori c ∈ [0,1 − 1/n]) tel
que g(c n ) = 0.
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Partie 2 • Analyse
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