Exercice 6.4 : Fonction continue ayant des limites finies à l’infini
Soit f : R → R une application continue. On suppose que f possède des limites
finies λ et µ en −∞ et +∞ respectivement.
Pour x ∈] − π/2,π/2[ on pose g(x) = f (tan(x)).
1. Montrer que g possède un prolongement par continuité à [−π/2,π/2]. On
notera encore g cette fonction.
2. À l’aide de g, montrer que f est bornée sur R.
3. On suppose de plus que λ = µ. Montrer que f atteint l’une de ses bornes.
Atteint-elle forcément les deux ?
Il est ici question de fonctions continues, de fonctions bornées et de bornes atteintes.
Le théorème adapté est donc le suivant : toute fonction continue sur un segment est
bornée et atteint ses bornes.
Plus précisément, la fonction auxiliaire g est introduite de manière à pouvoir lui
appliquer ce théorème et en déduire des renseignements sur la fonction f.
Rappelons que « atteindre ses bornes » signifie « posséder un minimum et un maximum » et que « atteindre au moins une de ses bornes » signifie « posséder un minimum ou un maximum ».
1. Cette question est une application directe du résultat du cours concernant le prolongement par continuité.
Tout d’abord, g est bien continue sur ] − π/2,π/2[ comme composée de la
fonction tangente, qui est continue sur ] − π/2,π/2[, et de f qui est continue sur R.
Appliquons le théorème de composition des limites : comme
lim
x→(π/2) −
tan(x) = +∞
on a
lim
x→π/2
g(x) = lim
x→+∞
f (x) = µ ∈ R.
En posant g(π/2) = µ la fonction g ainsi obtenue est continue en π/2.
De même, en posant g(−π/2) = λ, la fonction g ainsi construite est continue en −π/2.
2. Suivons l’argumentation proposée au début de la solution : appliquons le théorème classique à g. On pourra ensuite revenir à f en utilisant le fait que, par définition, f (t) = g(Arctan(t)) pour tout réel t.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Fonctions continues
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Soit f : R → R une application continue. On suppose que f possède des limites
finies λ et µ en −∞ et +∞ respectivement.
Pour x ∈] − π/2,π/2[ on pose g(x) = f (tan(x)).
1. Montrer que g possède un prolongement par continuité à [−π/2,π/2]. On
notera encore g cette fonction.
2. À l’aide de g, montrer que f est bornée sur R.
3. On suppose de plus que λ = µ. Montrer que f atteint l’une de ses bornes.
Atteint-elle forcément les deux ?
Il est ici question de fonctions continues, de fonctions bornées et de bornes atteintes.
Le théorème adapté est donc le suivant : toute fonction continue sur un segment est
bornée et atteint ses bornes.
Plus précisément, la fonction auxiliaire g est introduite de manière à pouvoir lui
appliquer ce théorème et en déduire des renseignements sur la fonction f.
Rappelons que « atteindre ses bornes » signifie « posséder un minimum et un maximum » et que « atteindre au moins une de ses bornes » signifie « posséder un minimum ou un maximum ».
1. Cette question est une application directe du résultat du cours concernant le prolongement par continuité.
Tout d’abord, g est bien continue sur ] − π/2,π/2[ comme composée de la
fonction tangente, qui est continue sur ] − π/2,π/2[, et de f qui est continue sur R.
Appliquons le théorème de composition des limites : comme
lim
x→(π/2) −
tan(x) = +∞
on a
lim
x→π/2
g(x) = lim
x→+∞
f (x) = µ ∈ R.
En posant g(π/2) = µ la fonction g ainsi obtenue est continue en π/2.
De même, en posant g(−π/2) = λ, la fonction g ainsi construite est continue en −π/2.
2. Suivons l’argumentation proposée au début de la solution : appliquons le théorème classique à g. On pourra ensuite revenir à f en utilisant le fait que, par définition, f (t) = g(Arctan(t)) pour tout réel t.
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