La fonction g est continue sur le segment [−π/2,π/2] donc bornée : il
existe un réel positif A tel que, pour tout x ∈ [−π/2,π/2], |g(x)| A.
Considérons un réel quelconque t . Alors f (t) = g(Arctan(t)) donc
| f (t)| A .
Ceci montre que la fonction f est bornée sur R.
3. Nous savons que, de plus, g atteint ses bornes : et notant m son minimum et M
son maximum il existe deux éléments u et v de [−π/2,π/2] tels que g(u) = m et
g(u) = M .
On peut se ramener à f comme précédemment en utilisant f (tan(x)) = g(x) mais il
y a un problème : les valeurs prises par f sont celles prises par g sur ] − π/2,π/2[.
Autrement dit, si u (ou v) est égal à ±π/2, f (tan(u)) n’a pas de sens. Il va donc falloir distinguer des cas selon que u ou v est égal à ±π/2 ou non.
g étant continue sur [−π/2,π/2] elle atteint ses bornes ; en notant m
(resp. M) sont minimum (resp. maximum) il existe donc un élément u (resp.
v) de [−π/2,π/2] tel que g(u) = m (resp. g(v) = M).
Distinguons trois cas.
• Si u ∈] − π/2,π/2[ : posons t = tan(u). On a alors f (t) = g(u) = m.
D’autre part, m est un minorant de f car, pour tout x ∈ R ,
f (x) = g(Arctan(x)) m .
Ainsi, m est le minimum de f.
• Si v ∈] − π/2,π/2[ : posons t = tan(v). On a alors f (t) = g(v) = M.
D’autre part, M est un majorant de f car, pour tout x ∈ R ,
f (x) = g(Arctan(x)) M .
Ainsi, M est le maximum de f.
• Sinon, u et v sont tous deux extrémités de [−π/2,π/2].
Ainsi, g(u) est égal à λ ou à µ, idem pour g(v).
Or il a été supposé dans cette question que λ et µ étaient égaux : on a donc
g(u) = g(v), i.e. m = M.
Par définition de m et M on a, pour tout x ∈ [−π/2,π/2], m g(x) M.
Comme m = M la fonction g est donc constante ; comme f = g ◦ Arctan
la fonction f l’est également et atteint donc son maximum et son minimum
en tout point.
L’hypothèse λ = µ a bien été utilisée dans le dernier point.
Elle était bien essentielle : en prenant pour f la fonction arctangente, on voit que
si λ = / µ la fonction f peut ne posséder ni maximum ni minimum.
Afin de répondre à la question ouverte (f atteint-elle forcément ses deux bornes ?)
examinons les conclusions de chacun des points.
128
Partie 2 • Analyse
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existe un réel positif A tel que, pour tout x ∈ [−π/2,π/2], |g(x)| A.
Considérons un réel quelconque t . Alors f (t) = g(Arctan(t)) donc
| f (t)| A .
Ceci montre que la fonction f est bornée sur R.
3. Nous savons que, de plus, g atteint ses bornes : et notant m son minimum et M
son maximum il existe deux éléments u et v de [−π/2,π/2] tels que g(u) = m et
g(u) = M .
On peut se ramener à f comme précédemment en utilisant f (tan(x)) = g(x) mais il
y a un problème : les valeurs prises par f sont celles prises par g sur ] − π/2,π/2[.
Autrement dit, si u (ou v) est égal à ±π/2, f (tan(u)) n’a pas de sens. Il va donc falloir distinguer des cas selon que u ou v est égal à ±π/2 ou non.
g étant continue sur [−π/2,π/2] elle atteint ses bornes ; en notant m
(resp. M) sont minimum (resp. maximum) il existe donc un élément u (resp.
v) de [−π/2,π/2] tel que g(u) = m (resp. g(v) = M).
Distinguons trois cas.
• Si u ∈] − π/2,π/2[ : posons t = tan(u). On a alors f (t) = g(u) = m.
D’autre part, m est un minorant de f car, pour tout x ∈ R ,
f (x) = g(Arctan(x)) m .
Ainsi, m est le minimum de f.
• Si v ∈] − π/2,π/2[ : posons t = tan(v). On a alors f (t) = g(v) = M.
D’autre part, M est un majorant de f car, pour tout x ∈ R ,
f (x) = g(Arctan(x)) M .
Ainsi, M est le maximum de f.
• Sinon, u et v sont tous deux extrémités de [−π/2,π/2].
Ainsi, g(u) est égal à λ ou à µ, idem pour g(v).
Or il a été supposé dans cette question que λ et µ étaient égaux : on a donc
g(u) = g(v), i.e. m = M.
Par définition de m et M on a, pour tout x ∈ [−π/2,π/2], m g(x) M.
Comme m = M la fonction g est donc constante ; comme f = g ◦ Arctan
la fonction f l’est également et atteint donc son maximum et son minimum
en tout point.
L’hypothèse λ = µ a bien été utilisée dans le dernier point.
Elle était bien essentielle : en prenant pour f la fonction arctangente, on voit que
si λ = / µ la fonction f peut ne posséder ni maximum ni minimum.
Afin de répondre à la question ouverte (f atteint-elle forcément ses deux bornes ?)
examinons les conclusions de chacun des points.
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Partie 2 • Analyse
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