On voit que si u et v sont tous deux éléments de ] − π/2,π/2[, f atteint ses deux
bornes ; il en va de même si ni u ni v ne sont éléments de cet intervalle ouvert.
Pour trouver un contre-exemple il faut chercher un cas où u ∈] − π/2,π/2[ et
v = ±π/2 (ou le contraire). En prenant pour g la fonction valeur absolue on a bien
cette situation (avec m = 0, M = π/2, u = 0 et v = ±π/2 ).
Ceci suggère de considérer la fonction f : x → |Arctan(x)|.
Soit f : x ∈ R → |Arctan(x)|.
f est continue sur R et possède, en +∞ et −∞, des limites qui sont égales
(à savoir π/2).
f possède un minimum qui est 0, atteint pour x = 0.
Cependant, f n’a pas de maximum : en effet, la borne supérieure de f sur R
est π/2 mais f ne prend pas cette valeur.
Ainsi, il est possible que la fonction f n’atteigne pas ses deux bornes.
Exercice 6.5 : Fonction continue injective
Soit I un intervalle et f une application continue sur I et injective. Le but de cet
exercice est de montrer que f est strictement monotone sur I.
On fixe deux éléments a et b de I avec a < b. f étant injective, f (a) = / f (b).
Supposons f (a) < f (b).
Soient x et y deux éléments de I avec x < y. Pour t ∈ [0,1] on pose g(t) =
f ((1 − t)b + t y) − f ((1 − t)a + t x) .
1. Montrer que g est continue sur I et ne s’annule pas.
2. Déterminer le signe de g(0) puis de g(1).
3. En déduire que f est strictement croissante.
4. Que dire si f (a) > f (b) ?
1. Comme souvent la continuité de g est simple à vérifier car elle est construite par
composition et différence de fonctions continues.
Il faut prendre garde aux notations : ici les lettres a, b, x et y désignent des réels
fixés, la variable étant la lettre t.
Les applications t → (1 − t)a + t x et t → (1 − t)b + t y sont continues
car affines. g est donc continue comme différence de composées de fonctions continues.
Pour montrer que g ne s’annule pas on peut raisonner par l’absurde : si g s’annule
en un point u on obtient deux points où f prend la même valeur et l’hypothèse d’injectivité de f intervient alors naturellement.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Fonctions continues
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bornes ; il en va de même si ni u ni v ne sont éléments de cet intervalle ouvert.
Pour trouver un contre-exemple il faut chercher un cas où u ∈] − π/2,π/2[ et
v = ±π/2 (ou le contraire). En prenant pour g la fonction valeur absolue on a bien
cette situation (avec m = 0, M = π/2, u = 0 et v = ±π/2 ).
Ceci suggère de considérer la fonction f : x → |Arctan(x)|.
Soit f : x ∈ R → |Arctan(x)|.
f est continue sur R et possède, en +∞ et −∞, des limites qui sont égales
(à savoir π/2).
f possède un minimum qui est 0, atteint pour x = 0.
Cependant, f n’a pas de maximum : en effet, la borne supérieure de f sur R
est π/2 mais f ne prend pas cette valeur.
Ainsi, il est possible que la fonction f n’atteigne pas ses deux bornes.
Exercice 6.5 : Fonction continue injective
Soit I un intervalle et f une application continue sur I et injective. Le but de cet
exercice est de montrer que f est strictement monotone sur I.
On fixe deux éléments a et b de I avec a < b. f étant injective, f (a) = / f (b).
Supposons f (a) < f (b).
Soient x et y deux éléments de I avec x < y. Pour t ∈ [0,1] on pose g(t) =
f ((1 − t)b + t y) − f ((1 − t)a + t x) .
1. Montrer que g est continue sur I et ne s’annule pas.
2. Déterminer le signe de g(0) puis de g(1).
3. En déduire que f est strictement croissante.
4. Que dire si f (a) > f (b) ?
1. Comme souvent la continuité de g est simple à vérifier car elle est construite par
composition et différence de fonctions continues.
Il faut prendre garde aux notations : ici les lettres a, b, x et y désignent des réels
fixés, la variable étant la lettre t.
Les applications t → (1 − t)a + t x et t → (1 − t)b + t y sont continues
car affines. g est donc continue comme différence de composées de fonctions continues.
Pour montrer que g ne s’annule pas on peut raisonner par l’absurde : si g s’annule
en un point u on obtient deux points où f prend la même valeur et l’hypothèse d’injectivité de f intervient alors naturellement.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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