Supposons qu’il existe u ∈ [0,1] tel que g(u) = 0 : on a alors
f ((1 − u)b + uy) = f ((1 − u)a + ux).
f étant injective il vient
(1 − u)b + uy = (1 − u)a + ux.
On en déduit
(1 − u)(b − a) = u(x − y).
Or on a b − a > 0, x − y < 0, u 0 et 1 − u 0 : on a donc
(1 − u)(b − a) 0 et u(x − y) 0
d’où, ces deux quantités étant égales,
(1 − u)(b − a) = u(x − y) = 0.
Comme b − a = / 0 et x − y = / 0 on en déduit 1 − u = u = 0 , soit u = 0
et u = 1 : c’est absurde.
Ainsi, g ne s’annule pas sur [0,1].
2. Il est ici question d’étudier le signe de g qui est continue sur un intervalle : nous
utiliserons donc le théorème des valeurs intermédiaires.
Une fonction continue sur un intervalle prenant des valeurs de signes opposés s’annule (théorème des valeurs intermédiaires).
g est continue sur l’intervalle [0,1]. Comme elle ne s’annule pas, elle est de
signe strict constant (contraposée de l’argument précédent) : g(0) et g(1)
sont donc de même signe strict. Or g(0) = f (b) − f (a) > 0 par hypothèse
donc g(1) > 0 .
3. Par définition, g(1) = f (y) − f (x) . Nous venons donc de voir que
f (y) − f (x) > 0.
On a donc démontré que, pour tous x et y de I tels que x < y, f (x) < f (y) : f est
donc strictement croissante.
4. Il y a deux manières de traiter ce type de question :
• soit refaire tout ce qui précède en changeant le sens des inégalités, éventuellement
avec des ellipses du type « par un calcul analogue », ce qui n’est ni efficace ni très
élégant ;
• soit se ramener au cas précédent en introduisant une fonction auxiliaire qui vérifie les hypothèses du début de l’exercice.
On voit que − f vérifie les hypothèses des questions précédentes et nous allons donc
utiliser le résultat précédent appliqué à cette fonction.
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Partie 2 • Analyse
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f ((1 − u)b + uy) = f ((1 − u)a + ux).
f étant injective il vient
(1 − u)b + uy = (1 − u)a + ux.
On en déduit
(1 − u)(b − a) = u(x − y).
Or on a b − a > 0, x − y < 0, u 0 et 1 − u 0 : on a donc
(1 − u)(b − a) 0 et u(x − y) 0
d’où, ces deux quantités étant égales,
(1 − u)(b − a) = u(x − y) = 0.
Comme b − a = / 0 et x − y = / 0 on en déduit 1 − u = u = 0 , soit u = 0
et u = 1 : c’est absurde.
Ainsi, g ne s’annule pas sur [0,1].
2. Il est ici question d’étudier le signe de g qui est continue sur un intervalle : nous
utiliserons donc le théorème des valeurs intermédiaires.
Une fonction continue sur un intervalle prenant des valeurs de signes opposés s’annule (théorème des valeurs intermédiaires).
g est continue sur l’intervalle [0,1]. Comme elle ne s’annule pas, elle est de
signe strict constant (contraposée de l’argument précédent) : g(0) et g(1)
sont donc de même signe strict. Or g(0) = f (b) − f (a) > 0 par hypothèse
donc g(1) > 0 .
3. Par définition, g(1) = f (y) − f (x) . Nous venons donc de voir que
f (y) − f (x) > 0.
On a donc démontré que, pour tous x et y de I tels que x < y, f (x) < f (y) : f est
donc strictement croissante.
4. Il y a deux manières de traiter ce type de question :
• soit refaire tout ce qui précède en changeant le sens des inégalités, éventuellement
avec des ellipses du type « par un calcul analogue », ce qui n’est ni efficace ni très
élégant ;
• soit se ramener au cas précédent en introduisant une fonction auxiliaire qui vérifie les hypothèses du début de l’exercice.
On voit que − f vérifie les hypothèses des questions précédentes et nous allons donc
utiliser le résultat précédent appliqué à cette fonction.
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Partie 2 • Analyse
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