L’application − f est continue et injective sur I ; de plus, − f (a) < − f (b).
Ainsi, d’après ce qui précède, − f est strictement croissante sur I, donc f est
strictement décroissante sur I.
Nous avons donc démontré que, dans tous les cas, l’application f est strictement
monotone sur I.
Exercice 6.6 : Fonction lipschitzienne et continuité uniforme (MPSI)
1. Montrer que la fonction x →
√
x est uniformément continue sur R + mais
qu’elle n’est pas lipschitzienne (ce dernier point est accessible aux élèves de
PCSI et PTSI).
2. Montrer que la fonction x →
1
x
n’est pas uniformément continue sur R ∗
+ bien
qu’elle soit continue.
1. Il y a deux propriétés à montrer : l’une « positive » (la fonction est uniformément
continue) et l’autre « négative » (elle n’est pas lipschitzienne).
La notion de fonction lipschitzienne étant plus simple que la notion de continuité
uniforme, nous allons commencer par elle.
Pour x ∈ R + posons f (x) =
√
x .
f n’est pas lipschitzienne : raisonnons par l’absurde.
Si f était lipschitizienne il existerait une constante k telle que, pour tous réels
positifs x et y, | f (x) − f (y)| k|x − y| . Autrement dit, pour x = / y,
f (x) − f (y)
x − y
k .
Géométriquement, ceci signifie que les pentes des sécantes à la courbe représentative de la fonction sont toutes, en valeur absolue, inférieures ou égales à k.
Cependant, il est clair que si les points x et y sont « proches » de 0 la pente de la
sécante va devenir « grande ». Sur la figure suivante, nous avons tracé les deux
sécantes correspondant aux choix (x,y) = (0,1) et (x,y) = (2,8).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Fonctions continues
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Ainsi, d’après ce qui précède, − f est strictement croissante sur I, donc f est
strictement décroissante sur I.
Nous avons donc démontré que, dans tous les cas, l’application f est strictement
monotone sur I.
Exercice 6.6 : Fonction lipschitzienne et continuité uniforme (MPSI)
1. Montrer que la fonction x →
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x est uniformément continue sur R + mais
qu’elle n’est pas lipschitzienne (ce dernier point est accessible aux élèves de
PCSI et PTSI).
2. Montrer que la fonction x →
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x
n’est pas uniformément continue sur R ∗
+ bien
qu’elle soit continue.
1. Il y a deux propriétés à montrer : l’une « positive » (la fonction est uniformément
continue) et l’autre « négative » (elle n’est pas lipschitzienne).
La notion de fonction lipschitzienne étant plus simple que la notion de continuité
uniforme, nous allons commencer par elle.
Pour x ∈ R + posons f (x) =
√
x .
f n’est pas lipschitzienne : raisonnons par l’absurde.
Si f était lipschitizienne il existerait une constante k telle que, pour tous réels
positifs x et y, | f (x) − f (y)| k|x − y| . Autrement dit, pour x = / y,
f (x) − f (y)
x − y
k .
Géométriquement, ceci signifie que les pentes des sécantes à la courbe représentative de la fonction sont toutes, en valeur absolue, inférieures ou égales à k.
Cependant, il est clair que si les points x et y sont « proches » de 0 la pente de la
sécante va devenir « grande ». Sur la figure suivante, nous avons tracé les deux
sécantes correspondant aux choix (x,y) = (0,1) et (x,y) = (2,8).
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