Pour éviter cela, il faut :
• prendre garde, dans le type de raisonnement présenté ici, à ne pas oublier l’étape
de synthèse ;
• s’assurer que tous les calculs sont licites (ne pas diviser par zéro, ne pas prendre
la racine carrée ou le logarithme d’un nombre négatif...) et, au besoin, distinguer
des cas comme dans la deuxième question.
Exercice 1.2 : Étude de fonction
1. Étudier et tracer la fonction f définie par f (x) =
ln(x)
x
.
2. En déduire les couples (a,b) d’entiers tels que 2 a < b et a b = b a .
3. Quel est le plus grand : e π ou π e ?
1. La démarche pour étudier une fonction est toujours la même :
• déterminer le domaine de définition et de dérivabilité ;
• calculer la dérivée ;
• étudier les limites de la fonction aux bornes de son (ou ses) intervalle(s) de définition ;
• calculer les valeurs de la fonction aux points où la dérivée s’annule ;
• résumer tout ceci dans le tableau de variations.
La fonction f est définie et dérivable sur R ∗
+ et, pour tout x > 0 :
f
(x) =
1 − ln(x)
x 2
.
On a de plus, d’après les limites comparées vues en Terminale :

  
  
f (1)
=
0
f (e)
= e −1
lim
x→0
f (x) = −∞
lim
x→+∞
f (x) =
0
On en déduit le tableau de variations de f :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
x
0
e
+∞
f (x)
+
0
–
1
e
f(x)
−∞
0
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