puis sa représentation graphique :
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Partie 1 • Première période
1
0
0
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
1
e
e
– 1
2. L’énoncé de la question commence par « en déduire » : il s’agit donc de faire
apparaître la fonction f, ce qui suggère d’introduire un logarithme.
Raisonnons par analyse-synthèse.
Si un couple (a,b) convient on a alors, en prenant les logarithmes :
b ln(a) = a ln(b).
Comme a et b ne sont pas nuls on en déduit
ln(a)
a
=
ln(b)
b
, i.e. f (a) = f (b).
Or, d’après le tableau de variations, f ne peut prendre qu’au plus deux fois
une même valeur et, si c’est le cas, elle la prend une fois sur ]1,e[ et l’autre
fois sur ]e,+∞[. Il est donc nécessaire que 1 < a < e < b .
On sait que e = 2,7 à 0,1 près ; ainsi, a étant entier, il ne peut valoir
que 2.
Il reste à trouver un entier b > e (donc b 3) tel que f (b) =
ln(2)
2
. Des
essais successifs montrent que b = 4 convient.
D’autre part, f étant strictement décroissante sur ]e,+∞[, elle ne peut
prendre plusieurs fois la même valeur : 4 est donc le seul entier b tel que
f (b) =
ln(2)
2
et b > e.
La seule solution possible au problème est donc (a,b) = (2,4) .
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