Enfin, nous allons vérifier que ce couple convient bien. Le premier exercice montre
qu’une telle vérification n’est pas superflue !
Réciproquement, on a bien 2 4 = 4 2 (= 16) : le problème possède donc une
unique solution, (a,b) = (2,4) .
3. De manière analogue nous allons introduire un logarithme.
Pour comparer deux réels strictements positifs il suffit de comparer leurs logarithmes car la fonction ln est strictement croissante sur R ∗
+ .
Autrement dit, il s’agit de comparer ln(e π ) = π et ln(π e ) = e ln(π) : c’est là que la
fonction f intervient en faisant apparaître les quotients
1
e
=
ln(e)
e
= f (e) et
ln(π)
π
= f (π).
On sait que e < π donc, comme f est strictement décroissante sur [e,+∞[,
f (e) > f (π) . Autrement dit :
1
e
>
ln(π)
π
.
En multipliant par e et π, qui sont strictement positifs, il vient :
π > e ln(π).
En appliquant la fonction exponentielle, qui est strictement croissante, on
obtient enfin :
e π > π
e
.
Dans cette dernière question, π ne joue aucun rôle : on aurait pu le remplacer par
n’importe quel réel x > e.
Exercice 1.3 : Fonctions circulaires réciproques
1. Montrer que, pour tout x ∈ [−1,1], Arcsin(x) + Arccos(x) =
π
2
.
2. Soit x ∈ R, u = sin(Arctan(x)) et v = cos(Arctan(x)). Déterminer le signe de
v puis, à l’aide de
u
v
et u 2 + v 2 , déterminer des expressions de u et v en fonction
de x sans utiliser de fonctions trigonométriques.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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