1. Il y a plusieurs manières d’aborder un tel problème :
a) directement par la définition des fonctions circulaires réciproques. Il suffit alors
d’essayer d’utiliser les formules de trigonométrie usuelles.
b) utiliser la trigonométrie d’une autre manière : pour montrer que deux réels a et
b sont égaux, on peut commencer par montrer que sin(a) = sin(b), puis conclure
en déterminant un intervalle contenant a et b sur lequel la fonction sinus ne prend
pas plusieurs fois la même valeur.
c) par l’étude d’une fonction bien choisie. Cependant, les fonctions Arcsin et Arccos
ne sont dérivables que sur ]−1,1[, alors qu’elles sont définies sur [−1,1], et leur
dérivée fait intervenir une racine carrée ; autrement dit, il faut être très prudent sur
le domaine d’étude.
Nous allons utiliser successivement ces trois méthodes.
a) Posons θ = Arcsin(x) et ϕ = Arccos(x).
Alors, par définition :
sin(θ) = x et θ ∈ [−π/2,π/2]
cos(ϕ) = x et ϕ ∈ [0,π].
Pour trouver une relation entre θ et ϕ on peut utiliser des formules de trigonométrie : on a
x = sin(θ)
= cos(π/2 − θ)
donc
cos(π/2 − θ) = x
= cos(ϕ).
De plus, π/2 − θ ∈ [0,π]. Or la fonction cos est strictement décroissante
sur [0,π] donc ne prend jamais deux fois la même valeur sur cet intervalle ;
on a donc π/2 − θ = ϕ, i.e. θ + ϕ = π/2 ou encore
Arcsin(x) + Arccos(x) =
π
2
.
Afin de conclure on a dû utiliser les encadrements de θ et ϕ donnés par la définition des fonctions circulaires réciproques. D’une manière générale on a toujours
besoin de ces encadrements pour étudier un problème faisant intervenir ces fonctions.
b) On a, d’après les formules de trigonométrie usuelles et les relations du
cours suivantes :
sin(arccos(x)) = cos(arcsin(x)) =
1 − x 2
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Partie 1 • Première période
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