la relation :
sin(Arcsin(x) + Arccos(x)) = x
2
+ (
1 − x 2 )
2
= 1.
Ceci ne suffit pas pour déterminer la valeur de Arcsin(x) + Arccos(x) ; en effet,
le sinus prend une infinité de fois la valeur 1, il faut donc encadrer Arcsin(x)
+Arccos(x) pour trouver sa valeur.
Par définition,
−π/2 Arcsin(x) π/2 et 0 Arccos(x) π.
On a donc
−π/2 Arcsin(x) + Arccos(x) 3π/2.
Or, sur l’intervalle [−π/2,3π/2], la fonction sinus ne prend qu’une fois la
valeur 1 : c’est au point π/2. On a donc :
Arcsin(x) + Arccos(x) =
π
2
.
On notera ici encore une fois l’usage d’un argument d’encadrement.
c) Pour x ∈ [−1,1] posons f (x) = Arcsin(x) + Arccos(x) .
La fonction f ainsi définie est dérivable sur ]−1,1[, car Arcsin et Arccos
le sont, mais rien ne permet de dire a priori qu’elle l’est sur [−1,1] ; nous
sommes donc contraints à ne l’étudier que sur ]−1,1[.
Pour x ∈ ]−1,1[ on a
f (x) = Arcsin
(x) + Arccos
(x)
= 0
d’après les formules du cours ; la fonction f est donc constante sur ]−1,1[.
Ainsi, pour tout x ∈ ]−1,1[ :
f (x) = f (0)
= Arcsin(0) + Arccos(0)
= 0 +
π
2
=
π
2
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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