Enfin, on vérifie à la main les cas particuliers exclus de l’étude ci-dessus :
f (1) = Arcsin(1) + Arccos(1)
=
π
2
+ 0
=
π
2
et
f (−1) = Arcsin(−1) + Arccos(−1)
= −
π
2
+ π
=
π
2
.
On a donc bien :
pour tout x ∈ [−1,1], Arcsin(x) + Arccos(x) =
π
2
.
Dans cette dernière approche, nous avons échappé à l’argument d’encadrement vu
dans les deux premières mais il a fallu néanmoins distinguer des cas pour une raison de domaine de dérivabilité.
Avec les fonctions Arcsin et Arccos il y a toujours des justifications à
apporter : domaine de définition, domaine de dérivabilité ou encadrement des
valeurs prises.
2. Laissons-nous guider par l’énoncé. Nous allons même déterminer le signe strict de
v : en effet, il est demandé ensuite de diviser par v qui doit donc être distinct de 0.
Pour étudier le signe de v, il suffit de savoir dans quel intervalle Arctan prend ses
valeurs… Ce qui fait partie de sa définition.
Pour tout réel x on a, par définition, Arctan(x) ∈ ]−π/2,π/2[, et donc
cos(Arctan(x)) > 0. Ainsi, v > 0, et en particulier v = / 0, donc u/v a un
sens.
D’autre part :
u
v
= tan(Arctan(x)) = x.
Enfin, pour tout réel θ, sin
2
(θ) + cos 2 (θ) = 1. Avec θ = Arctan(x) on
obtient
u
2
+ v
2
= 1.
Comme, par définition, u = vx on obtient, en remplaçant dans l’égalité précédente :
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Partie 1 • Première période
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