(vx)
2
+ v
2
= 1
soit
v
2
(1 + x
2
) = 1.
Comme 1 + x 2 = / 0 on en tire
v
2
=
1
1 + x 2
et enfin
v = ±
1
√
1 + x 2
.
Or v > 0, donc
v =
1
√
1 + x 2
.
Enfin, u = vx, donc
u =
x
√
1 + x 2
.
Comme souvent en trigonométrie, nous avons calculé les carrés des expressions
demandées. Pour revenir à u et v il était donc nécessaire de déterminer leur signe,
sans quoi on ne peut dire mieux que |v| =
√
v 2 .
Exercice 1.4 : Arctangente
1. Étant donné un réel strictement positif a on considère la fonction
f a : x → Arctan
a + x
1 − ax
.
Étudier cette fonction sur chacun des intervalles ]−∞,1/a[ et ]1/a,+∞[.
2. Même question, mais avec a < 0.
3. Déduire des deux questions précédentes que, pour tous réels a et b (a = / 0) :
Arctan(a) + Arctan(b) = Arctan
a + b
1 − ab
+ kπ
avec
k = 0 si ab < 1
k = 1 si ab > 1 et a > 0
k = −1 si ab > 1 et a < 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
11
Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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2
+ v
2
= 1
soit
v
2
(1 + x
2
) = 1.
Comme 1 + x 2 = / 0 on en tire
v
2
=
1
1 + x 2
et enfin
v = ±
1
√
1 + x 2
.
Or v > 0, donc
v =
1
√
1 + x 2
.
Enfin, u = vx, donc
u =
x
√
1 + x 2
.
Comme souvent en trigonométrie, nous avons calculé les carrés des expressions
demandées. Pour revenir à u et v il était donc nécessaire de déterminer leur signe,
sans quoi on ne peut dire mieux que |v| =
√
v 2 .
Exercice 1.4 : Arctangente
1. Étant donné un réel strictement positif a on considère la fonction
f a : x → Arctan
a + x
1 − ax
.
Étudier cette fonction sur chacun des intervalles ]−∞,1/a[ et ]1/a,+∞[.
2. Même question, mais avec a < 0.
3. Déduire des deux questions précédentes que, pour tous réels a et b (a = / 0) :
Arctan(a) + Arctan(b) = Arctan
a + b
1 − ab
+ kπ
avec
k = 0 si ab < 1
k = 1 si ab > 1 et a > 0
k = −1 si ab > 1 et a < 0
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