Cet exercice présente à nouveau des problèmes d’ensembles de définition mais cette
fois avec la fonction Arctan.
1. Il s’agit ici d’une dérivée composée ; rappelons la formule :
(g ◦ f )
= f
× (g
◦ f )
ou encore, en faisant intervenir la variable notée x :
(g ◦ f )
(x) = f
(x)g
( f (x)).
On a, pour tout x ∈ R \ {1/a} :
f
(x) =
d
dx
a + x
1 − ax
Arctan
a + x
1 − ax
.
Or :
d
dx
a + x
1 − ax
=
(1 − ax) + a(a + x)
(1 − ax) 2
=
1 + a 2
(1 − ax) 2
et
Arctan
a + x
1 − ax
=
1 +
a + x
1 − ax
2 −1
=
(1 − ax) 2
(1 − ax) 2 + (a + x) 2
=
(1 − ax) 2
1 + (ax) 2 + a 2 + x 2
=
(1 − ax) 2
(1 + a 2 )(1 + x 2 )
.
Ainsi :
pour tout x ∈ R \ {1/a}, f
a (x) =
1
1 + x 2 = Arctan
(x).
Le raisonnement suivant est faux : « f a et Arctan ont même dérivée donc il existe
une constante K telle que f a = K + Arctan ». En effet, l’égalité cidessus n’est pas valable sur un intervalle mais sur les deux intervalles disjoints
] − ∞,1/a[ et ]1/a,+∞[ .
L’énoncé correct est : « si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle
I et si f (x) = g (x) pour tout x de I alors f − g est constante ».
Ainsi, nous devons effectuer deux études de fonction : l’une sur l’intervalle
] − ∞,1/a[ et l’autre sur ]1/a,+∞[ .
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Partie 1 • Première période
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