On en déduit que, sur chacun des intervalles ]−∞,1/a[ et ]1/a,+∞[,
f a − arctan est une fonction constante : il existe deux réels c et d tels que :
• pour tout x ∈ ]−∞,1/a[, f a (x) = Arctan(x) + c ;
• pour tout x ∈ ]1/a,+∞[, f a (x) = Arctan(x) + d .
Comme nous l’avons rappelé, la fonction f a n’étant pas définie sur un intervalle les
deux constantes c et d n’ont aucune raison d’être égales… Nous verrons d’ailleurs
qu’elles ne le sont pas.
Pour les déterminer, on peut choisir des valeurs particulières de x ou considérer les
limites à l’infini.
On remarque que, d’après la définition de f a :
lim
x→+∞
f a (x) = lim
x→−∞
f a (x) = Arctan(−1/a).
De plus, comme f a (x) = Arctan(x) + c pour x < 1/a, on a
lim
x→−∞
f a (x) = c − π/2
et, comme f a (x) = Arctan(x) + d pour x > 1/a, on a
lim
x→+∞
f a (x) = d + π/2.
On en déduit
d + π/2 = c − π/2
soit
c = d + π.
Nous avons ici une première relation entre les deux paramètres à déterminer c et d.
Il nous en faut une autre pour les déterminer explicitement, nous allons pour cela
considérer la valeur en 0 de la fonction f a .
Pour cela, il faut savoir si 0 ∈] − ∞,1/a[ ou 0 ∈]1/a,+∞[ : nous allons pour cela
enfin nous servir de l’hypothèse de signe sur a.
Comme a > 0, on a
0 ∈ ]−∞,1/a[
donc
f a (0) = Arctan(0) + c = c.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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