D’autre part, d’après la définition de f a , f a (0) = Arctan(a), d’où
c = Arctan(a)
puis
d = Arctan(a) − π.
On a alors :
• pour tout réel b tel que b < 1/a, Arctan(a) + Arctan(b)
= Arctan
a + b
1 − ab
;
• pour tout réel b tel que b > 1/a, Arctan(a) + Arctan(b)
= Arctan
a + b
1 − ab
+ π .
2. Cherchons ce qui change quand on suppose a < 0.
Le signe de a n’intervenait que pour le calcul des constantes ; le calcul de la dérivation, lui, est toujours valable.
Dans le cas a < 0 on montre de manière analogue qu’il existe deux réels c
et d tels que :
• pour tout x ∈ ]−∞,1/a[, f a (x) = Arctan(x) + c ;
• pour tout x ∈ ]1/a,+∞[, f a (x) = Arctan(x) + d .
De même, en calculant les limites à l’infini, on obtient encore
c
= d
+ π.
Pour déterminer c et d considérons des valeurs particulières.
Cette fois, a < 0 donc 0 ∈ ]1/a,+∞[. On a donc
f a (0) = Arctan(0) + d
= d
.
D’autre part, f a (0) = arctan(a) , d’où
d
= Arctan(a)
et enfin
c
= Arctan(a) + π.
On a alors :
• pour tout réel b tel que b > 1/a, Arctan(a) + Arctan(b)
= Arctan
a + b
1 − ab
;
• pour tout réel b tel que b < 1/a, Arctan(a) + Arctan(b)
= Arctan
a + b
1 − ab
− π .
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Partie 1 • Première période
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