3. Distinguons trois cas comme le suggère l’énoncé.
• Si ab < 1 : on a soit a > 0 et b < 1/a, soit a < 0 et b > 1/a. D’après
ce qui précède on a dans ces deux cas
Arctan(a) + Arctan(b) = Arctan
a + b
1 − ab
.
• Si ab > 1 et a > 0 : on a b > 1/a et, d’après la question 1,
Arctan(a) + Arctan(b) = Arctan
a + b
1 − ab
+ π.
• Si ab > 1 et a < 0 : on a b < 1/a et, d’après la question 2,
Arctan(a) + Arctan(b) = Arctan
a + b
1 − ab
− π.
Exercice 1.5 : Fonctions hyperboliques réciproques
1. Montrer que, pour tout réel x, Argsh(x) = ln(x +
√
x 2 + 1) .
2. Montrer que, pour tout x ∈ [1,+∞[, Argch(x) = ln(x +
√
x 2 − 1).
3. Montrer que, pour tout x ∈ ]−1,1[, Argth(x) =
1
2
ln
1 + x
1 − x
.
Les fonctions hyperboliques s’expriment par définition simplement en fonction de
l’exponentielle : il ne s’agit donc pas réellement de « nouvelles » fonctions mais
simplement de notations abrégées pour des fonctions qui sont du ressort du programme de Terminale.
Les expressions faisant intervenir ch(x) et sh(x) peuvent se simplifier en posant
u = e x : on a alors ch(x) = (u + 1/u)/2 et sh(x) = (u − 1/u)/2 , ce qui permet de
se ramener à une expression qui est un quotient de polynômes en u et se prête donc
mieux au calcul. Tous les calculs proposés ici seront traités de cette manière.
1. Soit x ∈ R et y = Argsh(x). Alors sh(y) = x , autrement dit :
e y − e −y
2
= x
soit
e
y
− e
−y
= 2x.
Posons z = e y . Il vient
z − z
−1
= 2x
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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