et on a donc, en multipliant par z :
z
2
− 2xz − 1 = 0.
Le nombre réel z est racine de l’équation du second degré
(E) : t
2
− 2xt − 1 = 0
d’inconnue t ∈ R .
Son discriminant est 4(x 2 + 1) et ses racines x ±
√
x 2 + 1.
Nous venons de démontrer que z = x +
x 2 + 1 ou z = x −
x 2 + 1. Nous
devons donc décider laquelle de ces deux expressions est correcte.
Pour cela, il suffit de trouver un critère pour distinguer ces solutions, par exemple
leur signe : si elles sont de signes opposés et qu’on connaît le signe de z , on pourra choisir la bonne solution.
Comme z = e y et y ∈ R, on a : z ∈ R ∗
+ .
D’autre part on a, pour tout réel x , x |x| <
√
x 2 + 1 , d’où
x −
√
x 2 + 1 < 0.
Cette racine de l’équation (E) ne peut pas être z, donc
z = x +
x 2 + 1
et enfin
y = ln(z) = ln(x +
x 2 + 1)
soit encore
Argsh(x) = ln(x +
x 2 + 1).
2. On peut tenter un raisonnement analogue. Si l’obtention d’une équation du
second degré se fera sans problème nous verrons que le choix de la bonne racine
devra se faire à l’aide d’un critère différent.
De même, pour x 1, on pose y = Argch(x), d’où
ch(y) = x
et
e
y
+ e
−y
= 2x.
Avec z = e y on obtient alors
z
2
− 2xz + 1 = 0.
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Partie 1 • Première période
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