Le réel z est racine de l’équation
(E
) : t
2
− 2xt + 1 = 0
d’inconnue t ∈ R .
Son discriminant est 4(x 2 − 1) 0 (car x 1) et elle a donc pour racines
x ±
√
x 2 − 1.
On se retrouve dans une situation analogue à celle de la question précédente : de
deux solutions potentielles, il faut choisir la bonne. Pour cela, il suffit de trouver
un critère pour les départager en commençant par chercher un intervalle dans
lequel se trouve à coup sûr z .
Le mieux que l’on puisse dire, x étant quelconque dans [1,+∞[, est que y 0
(par définition de la fonction Argch) et donc que z 1. Ainsi, ce n’est pas le signe
des racines qui est déterminant, mais leur position par rapport à 1.
Ces racines sont positives et leur produit vaut 1 : la plus grande est donc
1 et la plus petite 1.
Or
√
x 2 − 1 0, d’où x −
√
x 2 − 1 x +
√
x 2 − 1 .
D’autre part, y 0 par définition de Argch donc z 1.
On a donc z = x +
√
x 2 − 1 , soit
Argch(x) = ln(x +
x 2 − 1).
3. Encore une fois, nous allons débuter par le même raisonnement mais la conclusion sera différente.
Par un raisonnement analogue, soit x ∈ ]−1,1[ et y = Argth(x). Alors
x = th(y)
=
e y − e −y
e y + e −y
=
e 2y − 1
e 2y + 1
.
En posant z = e y il vient
x =
z 2 − 1
z 2 + 1
soit
z
2
− 1 = x(z
2
+ 1).
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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