En développant et regroupant les termes en z, on obtient
(1 − x)z 2 = 1 + x et, comme x = / 1 :
z
2
=
1 + x
1 − x
soit
e
2y
=
1 + x
1 − x
et enfin
y =
1
2
ln
1 + x
1 − x
.
Exercice 1.6 : Calcul de limite par encadrement
1. Démontrer que, pour tout réel x 0,
x −
1
2
x
2 ln(1 + x) x.
2. En déduire la valeur de
lim
n→∞
n
k=1
1 +
k
n 2
.
On pourra préalablement démontrer que
n
k=1
k
2
=
1
6
n(n + 1)(2n + 1).
1. Pour établir une inégalité de la forme
∀x ∈ I, f (x) g(x)
on peut introduire la fonction g − f et étudier son signe sur I. Dans les cas qui nous
intéressent ici, la dérivée se calcule sans peine, ce qui permet de conclure aisément.
Pour x ∈ R + posons u(x) = ln(1 + x) − x. u est dérivable sur R + et
∀x ∈ R + , u
(x) =
1
1 + x
− 1 = −
x
1 + x
0.
La fonction u est donc décroissante sur R + . Etant donné que u(0) = 0, on
a donc u(x) 0 pour tout réel x 0. Autrement dit :
∀x ∈ R + , ln(1 + x) x.
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Partie 1 • Première période
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