De même, soit la fonction v définie pour x ∈ R + par
v(x) = ln(1 + x) − x +
1
2
x
2 . v est dérivable et
∀v ∈ R + , v
(x) =
1
1 + x
− 1 + x =
x 2
1 + x
0.
La fonction v est donc croissante sur R + . Etant donné que v(0) = 0, on a
donc v(x) 0 pour tout réel x 0. Autrement dit :
∀x ∈ R + , x −
1
2
x
2 ln(1 + x).
2. Commençons par établir l’égalité donnée en indication. Il s’agit d’une simple
démonstration par récurrence.
Pour n ∈ N ∗ posons H n : «
n
k=1
k
2
=
1
6
n(n + 1)(2n + 1) ».
• Initialisation : H 1 est clairement vraie, l’égalité se résumant alors à
1 = 1.
• Hérédité : soit n ∈ N ∗ tel que H n soit vraie. Alors :
n+1
k=1
k
2
=
n
k=1
k
2
+ (n + 1)
2
=
1
6
n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)
2
par hypothèse de récurrence. On a donc, en développant :
n+1
k=1
k
2
=
1
6
(2n
3
+ 9n
2
+ 13n + 6).
D’autre part, en posant u n =
1
6
n(n + 1)(2n + 1) , on a successivement
u n+1 =
1
6
(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)
=
1
6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
1
6
(2n
3
+ 9n
2
+ 13n + 6).
Ainsi, H n+1 est vraie.
• Conclusion : pour tout entier naturel non nul n,
n
k=1
k
2
=
1
6
n(n + 1)(2n + 1).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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