On peut écrire le produit de manière peut-être plus lisible :
n
k=1
1 +
k
n 2
=
1 +
1
n 2
· · ·
1 +
n
n 2
.
La première chose à remarquer est que le nombre de facteurs du produit est
variable. Il s’agit d’un produit comportant de plus en plus de termes qui sont de
plus en plus proches de 1. Dans ce genre de situation, on ne peut pas conclure sur
la limite du produit.
À cet effet, rappelons un calcul classique qui montre qu’il faut se méfier des produits ayant un nombre de facteurs variables.
Pour calculer lim
n→∞
1 +
1
n
n
, considérons plutôt le logarithme :
ln
1 +
1
n
n
= n ln
1 +
1
n
.
Le second membre est une forme indéterminée qui peut s’écrire comme limite d’un
taux d’accroissement; plus précisément,
n ln
1 +
1
n
=
ln
1 +
1
n
− ln(1)
1 +
1
n
− 1
et tend donc vers le nombre dérivé en 0 de la fonction x → ln(1 + x) quand n tend
vers +∞.
Ainsi,
lim
n→∞
n ln
1 +
1
n
= 1
donc
lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e.
En particulier, on voit que la limite n’est pas 1, comme on aurait pu le croire en supposant que le fait que 1 +
1
n tende vers 1 entraîne que sa puissance n-ième tende
aussi vers 1. D’une manière générale, aucun théorème classique ne s’applique
quand les puissances ou le nombre de facteurs d’un produit est variable.
Nous allons simplifier le produit en considérant son logarithme.
ln
n
k=1
1 +
k
n 2
=
n
k=1
ln
1 +
k
n 2
20
Partie 1 • Première période
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n
k=1
1 +
k
n 2
=
1 +
1
n 2
· · ·
1 +
n
n 2
.
La première chose à remarquer est que le nombre de facteurs du produit est
variable. Il s’agit d’un produit comportant de plus en plus de termes qui sont de
plus en plus proches de 1. Dans ce genre de situation, on ne peut pas conclure sur
la limite du produit.
À cet effet, rappelons un calcul classique qui montre qu’il faut se méfier des produits ayant un nombre de facteurs variables.
Pour calculer lim
n→∞
1 +
1
n
n
, considérons plutôt le logarithme :
ln
1 +
1
n
n
= n ln
1 +
1
n
.
Le second membre est une forme indéterminée qui peut s’écrire comme limite d’un
taux d’accroissement; plus précisément,
n ln
1 +
1
n
=
ln
1 +
1
n
− ln(1)
1 +
1
n
− 1
et tend donc vers le nombre dérivé en 0 de la fonction x → ln(1 + x) quand n tend
vers +∞.
Ainsi,
lim
n→∞
n ln
1 +
1
n
= 1
donc
lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e.
En particulier, on voit que la limite n’est pas 1, comme on aurait pu le croire en supposant que le fait que 1 +
1
n tende vers 1 entraîne que sa puissance n-ième tende
aussi vers 1. D’une manière générale, aucun théorème classique ne s’applique
quand les puissances ou le nombre de facteurs d’un produit est variable.
Nous allons simplifier le produit en considérant son logarithme.
ln
n
k=1
1 +
k
n 2
=
n
k=1
ln
1 +
k
n 2
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