Par ailleurs, pour tout entier naturel k n on a, d’après la première question :
k
n 2 −
1
2
k 2
n 4 ln
1 +
k
n 2
k
n 2
En additionnant ces inégalités pour k allant de 1 à n on obtient :
n
k=1
k
n 2 −
n
k=1
1
2
k 2
n 4
n
k=1
ln
1 +
k
n 2
n
k=1
k
n 2
soit, en factorisant les constantes de chaque somme,
1
n 2
n
k=1
k −
1
2n 4
n
k=1
k
2
n
k=1
ln
1 +
k
n 2
1
n 2
n
k=1
k
Nous voyons bien apparaître la somme
n
k=1
k
2 dont la valeur est donné dans
l’énoncé. Il se trouve également dans ces inégalités la somme
n
k=1
k qui, elle, peut
être calculée sans indication : il s’agit simplement de la somme des n premiers
termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1. D’après la formule
classique donnant la valeur d’une telle somme, on a
n
k=1
k =
n(n + 1)
2
.
Notons que l’encadrement que l’on obtiendra en remplaçant les sommes par leurs
valeurs sera une forme indéterminée classique : il s’agit d’un quotient de fonctions
polynomiales de n.
Une telle indétermination se lève simplement en factorisant la plus grand puissance
de n dans chaque facteur du numérateur et du dénominateur.
On a successivement :
•
1
n 2
n(n + 1)
2
−
1
2n 4
n(n + 1)(2n + 1)
6
n
k=1
ln
1 +
k
n 2
1
n 2
n(n + 1)
2
•
1
n 2
n 2 (1 +
1
n )
2
−
1
2n 4
n 3 (1 +
1
n )(2 +
1
n )
6
n
k=1
ln
1 +
k
n 2
1
n 2
n 2 (1 +
1
n )
2
•
(1 +
1
n )
2
−
(1 +
1
n )(2 +
1
n )
12n
n
k=1
ln
1 +
k
n 2
(1 +
1
n )
2
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Fonctions usuelles
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