Il est désormais clair que les membres de droite et de gauche tendent tous deux vers
1
2 quand n tend vers +∞.
Il ne reste ensuite qu’à revenir au produit en prenant l’exponentielle.
D’après le théorème des gendarmes,
lim
n→∞
n
k=1
ln
1 +
k
n 2
=
1
2
soit enfin :
lim
n→∞
n
k=1
1 +
k
n 2
=
√
e.
Exercice 1.7 : Études de fonctions et suites adjacentes
Cet exercice est long mais permet de réviser toutes les notions d’analyse de
Terminale, à l’exception des intégrales.
On peut directement traiter les questions 4 à 7 en admettant les résultats des trois
premières.
On pose f (x) =
1
2
ln
1 + x
1 − x
− x , g(x) =
x 3
3(1 − x 2 )
et h(x) = f (x) − g(x) .
1. Étudier f, g et h et tracer séparément leurs représentations graphiques.
2. Montrer que, pour n ∈ N ∗ , (2n+1) f
1
2n+1
=
n+
1
2
ln
1+
1
n
−1 .
3. Montrer que, pour n ∈ N ∗ , (2n + 1)g
1
2n + 1
=
1
12n(n + 1)
.
Pour n ∈ N ∗ on pose u n =
n n e −n √
n
n!
et v n = u n exp
1
12n
.
4. À l’aide des résultats précédents déterminer le sens de variation de la suite de
terme général ln(u n ).
5. Même question pour la suite de terme général ln(v n ).
6. Montrer que (ln(u n )) n∈N ∗ et (ln(v n )) n∈N ∗ sont adjacentes.
7. Montrer que (u n ) n∈N ∗ et (v n ) n∈N ∗ sont convergentes de même limite strictement positive (le calcul explicite de cette limite n’est pas demandé).
1. Les formules de dérivation classiques donnent :
f
(x) =
x 2
1 − x 2 , g
(x) =
x 2 (3 − x 2 )
3(1 − x 2 ) 2 et h
(x) = −
2x 4
3(1 − x 2 ) 2 .
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Partie 1 • Première période
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