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Partie 1 • Première période
Il est facile de vérifier que 5 est bien solution. En revanche, pour x = 1,
l’équation n’a pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres
négatifs. Ainsi, 1 n’est pas solution.
Conclusion : 5 est l’unique réel x tel que
√
x(x − 3) =
√
3x − 5.
Pourquoi l’étape d’analyse a-t-elle produit une « fausse solution » (dite également
solution parasite) ? Nous avons élevé deux expressions au carré. Or cette opération n’est pas réversible : s’il est vrai que a = b entraîne a 2 = b 2 , la réciproque
est fausse en général. En élevant au carré, nous avons en fait résolu l’équation
x(x − 3) = 3x − 5 qui se trouve avoir plus de solutions que l’équation de
l’énoncé.
2. Analyse du problème : nous allons prendre les logarithmes afin de simplifier les
puissances.
Soit x un réel strictement positif tel que x (x x ) = (x x ) x . Alors, en prenant le
logarithme : x x ln(x) = x ln(x x ) = x 2 ln(x).
On ne peut en déduire x x = x 2 en simplifiant par ln(x) : en effet, ln(x) pourrait
être nul. Il faut donc ajouter une hypothèse pour poursuivre les calculs : x = / 1.
Supposons x = / 1. On a alors ln(x) = / 0, donc x x = x 2 .
En considérant à nouveau les logarithmes il vient : x ln(x) = 2 ln(x).
Comme on a supposé ici x = / 1, on peut encore simplifier par ln(x), d’où
x = 2.
Autrement dit, nous venons de démontrer : si x est un réel strictement positif distinct de 1 vérifiant x (x x ) = (x x ) x , alors x = 2.
Ainsi, il y a ou plus deux solutions éventuelles au problème : 1 et 2.
Synthèse : calculs sans astuce, attention cependant à la place des parenthèses.
Il est clair que 1 convient bien. De même, 2 (2 2 ) = 2 4 = 16 et
(2 2 ) 2 = 4 2 = 16 , donc 2 convient également.
Conclusion : il existe deux réels strictement positifs x tels que
x (x x ) = (x x ) x : ce sont 1 et 2.
Si l’on oublie l’étape de synthèse dans la première question, on aboutit à un résultat faux : il y a une solution parasite.
D’autre part, si l’on ne fait pas attention lors de la simplification par ln(x) dans la
deuxième question, on n’obtient que la solution x = 2.
Autrement dit, le manque de rigueur dans le raisonnement mathématique peut aboutir à trouver de « fausses solutions » ou au contraire à en oublier de vraies !
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Partie 1 • Première période
Il est facile de vérifier que 5 est bien solution. En revanche, pour x = 1,
l’équation n’a pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres
négatifs. Ainsi, 1 n’est pas solution.
Conclusion : 5 est l’unique réel x tel que
√
x(x − 3) =
√
3x − 5.
Pourquoi l’étape d’analyse a-t-elle produit une « fausse solution » (dite également
solution parasite) ? Nous avons élevé deux expressions au carré. Or cette opération n’est pas réversible : s’il est vrai que a = b entraîne a 2 = b 2 , la réciproque
est fausse en général. En élevant au carré, nous avons en fait résolu l’équation
x(x − 3) = 3x − 5 qui se trouve avoir plus de solutions que l’équation de
l’énoncé.
2. Analyse du problème : nous allons prendre les logarithmes afin de simplifier les
puissances.
Soit x un réel strictement positif tel que x (x x ) = (x x ) x . Alors, en prenant le
logarithme : x x ln(x) = x ln(x x ) = x 2 ln(x).
On ne peut en déduire x x = x 2 en simplifiant par ln(x) : en effet, ln(x) pourrait
être nul. Il faut donc ajouter une hypothèse pour poursuivre les calculs : x = / 1.
Supposons x = / 1. On a alors ln(x) = / 0, donc x x = x 2 .
En considérant à nouveau les logarithmes il vient : x ln(x) = 2 ln(x).
Comme on a supposé ici x = / 1, on peut encore simplifier par ln(x), d’où
x = 2.
Autrement dit, nous venons de démontrer : si x est un réel strictement positif distinct de 1 vérifiant x (x x ) = (x x ) x , alors x = 2.
Ainsi, il y a ou plus deux solutions éventuelles au problème : 1 et 2.
Synthèse : calculs sans astuce, attention cependant à la place des parenthèses.
Il est clair que 1 convient bien. De même, 2 (2 2 ) = 2 4 = 16 et
(2 2 ) 2 = 4 2 = 16 , donc 2 convient également.
Conclusion : il existe deux réels strictement positifs x tels que
x (x x ) = (x x ) x : ce sont 1 et 2.
Si l’on oublie l’étape de synthèse dans la première question, on aboutit à un résultat faux : il y a une solution parasite.
D’autre part, si l’on ne fait pas attention lors de la simplification par ln(x) dans la
deuxième question, on n’obtient que la solution x = 2.
Autrement dit, le manque de rigueur dans le raisonnement mathématique peut aboutir à trouver de « fausses solutions » ou au contraire à en oublier de vraies !
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