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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 1.1 : Raisonnement par analyse-synthèse
1. Déterminer les réels x tels que
√
x(x − 3) =
√
3x − 5.
2. Déterminer les réels strictement positifs x tels que x (x x ) = (x x ) x .
Il s’agit de questions ouvertes : on demande de trouver les solutions d’un problème
sans les donner. Une stratégie consiste à raisonner par analyse-synthèse. C’est un
raisonnement en deux étapes :
• Première étape (analyse du problème) : on considère une solution x de l’équation
et on essaie, à partir des relations données dans l’énoncé, d’en déduire la forme
de x.
• Deuxième étape (synthèse) : l’étape précédente à montré que les solutions sont
d’une certaine forme ; il ne reste plus qu’à vérifier, parmi ces solutions potentielles, lesquelles sont bien les solutions du problème.
La nécessité de cette deuxième étape apparaîtra clairement dans la résolution de la
première question.
1. Analyse du problème : nous allons élever au carré pour nous ramener à une
équation du second degré.
Soit x un réel tel que
√
x(x − 3) =
√
3x − 5. Alors, en élevant au carré :
x(x − 3) = 3x − 5, soit x 2 − 6x + 5 = 0. D’après le cours de Terminale les
réels x vérifiant cette relation sont 1 et 5. Nous avons donc démontré :
si x est solution de l’équation alors x = 1 ou x = 5.
Nous n’avons pas démontré que les solutions sont 1 et 5, mais uniquement
qu’elles ne peuvent valoir autre chose. Il reste à vérifier si elle conviennent effectivement : c’est l’objet de l’étape de synthèse.
Synthèse : on remplace successivement x par 5 puis 1 dans l’équation initiale, les
calculs étant sans difficulté.
Fonctions usuelles
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 1.1 : Raisonnement par analyse-synthèse
1. Déterminer les réels x tels que
√
x(x − 3) =
√
3x − 5.
2. Déterminer les réels strictement positifs x tels que x (x x ) = (x x ) x .
Il s’agit de questions ouvertes : on demande de trouver les solutions d’un problème
sans les donner. Une stratégie consiste à raisonner par analyse-synthèse. C’est un
raisonnement en deux étapes :
• Première étape (analyse du problème) : on considère une solution x de l’équation
et on essaie, à partir des relations données dans l’énoncé, d’en déduire la forme
de x.
• Deuxième étape (synthèse) : l’étape précédente à montré que les solutions sont
d’une certaine forme ; il ne reste plus qu’à vérifier, parmi ces solutions potentielles, lesquelles sont bien les solutions du problème.
La nécessité de cette deuxième étape apparaîtra clairement dans la résolution de la
première question.
1. Analyse du problème : nous allons élever au carré pour nous ramener à une
équation du second degré.
Soit x un réel tel que
√
x(x − 3) =
√
3x − 5. Alors, en élevant au carré :
x(x − 3) = 3x − 5, soit x 2 − 6x + 5 = 0. D’après le cours de Terminale les
réels x vérifiant cette relation sont 1 et 5. Nous avons donc démontré :
si x est solution de l’équation alors x = 1 ou x = 5.
Nous n’avons pas démontré que les solutions sont 1 et 5, mais uniquement
qu’elles ne peuvent valoir autre chose. Il reste à vérifier si elle conviennent effectivement : c’est l’objet de l’étape de synthèse.
Synthèse : on remplace successivement x par 5 puis 1 dans l’équation initiale, les
calculs étant sans difficulté.
Fonctions usuelles
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