2. La représentation paramétrique n’est qu’une réécriture de la description par vecteur directeur : plus précisément, on traduit la colinéarité.
Un point M(x,y,z) de l’espace appartient à si, et seulement si, le vecteur
−−→
B 2 M est colinéaire à
v, condition qui peut s’écrire : il existe un réel γ
tel que
−−→
B 2 M = γ v.
En écrivant les coordonnées on obtient la représentation paramétrique cherchée :
x = 2 − γ
y = 1 + 2γ, γ ∈ R
z = γ
3. On cherche deux plans dont l’intersection est égale à .
Il est aisé de voir quels plans on va prendre : P 1 le plan contenant D 1 et et P 2
celui contenant D 2 et .
En effet, D 1 et étant sécantes mais non confondues il existe bien un unique plan
les contenant toutes les deux ; l’existence de P 2 se démontre de même.
De plus, par définition, est contenue dans P 1 ∩ P 2 .
Enfin, les trois droites D 1 , D 2 et n’étant pas coplanaires, P 1 n’est pas parallèle à
P 2 ; ainsi, leur intersection est bien réduite à la droite .
Afin de déterminer des équations cartésiennes de ces plans, il suffira de trouver un
point et un vecteur normal pour chacun.
Commençons par déterminer un point et un vecteur normal à chacun de ces plans.
• Les droites et D 1 étant sécantes mais non confondues, il existe un
unique plan P 1 qui les contient toutes les deux.
De plus, B 1 ∈ P 1 car, par définition, B 1 est élément à la fois de et D 1 .
Enfin, un vecteur normal à P 1 est en particulier normal à et D 1 , donc
orthogonal à
v et
u 1 , donc colinéaire à
v ∧ ∧
u 1 .
Or
v ∧ ∧
u 1 = 2 i + 2 j − 2
k.
Le vecteur
u 2 est non nul et colinéaire au vecteur précédent donc est normal à P 1 .
• De même les droites et D 2 sont sécantes mais non confondues donc il
existe un unique plan P 2 qui les contient toutes les deux.
De plus, par définition, B 2 ∈ P 2 .
78
Partie 1 • Première période
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Un point M(x,y,z) de l’espace appartient à si, et seulement si, le vecteur
−−→
B 2 M est colinéaire à
v, condition qui peut s’écrire : il existe un réel γ
tel que
−−→
B 2 M = γ v.
En écrivant les coordonnées on obtient la représentation paramétrique cherchée :
x = 2 − γ
y = 1 + 2γ, γ ∈ R
z = γ
3. On cherche deux plans dont l’intersection est égale à .
Il est aisé de voir quels plans on va prendre : P 1 le plan contenant D 1 et et P 2
celui contenant D 2 et .
En effet, D 1 et étant sécantes mais non confondues il existe bien un unique plan
les contenant toutes les deux ; l’existence de P 2 se démontre de même.
De plus, par définition, est contenue dans P 1 ∩ P 2 .
Enfin, les trois droites D 1 , D 2 et n’étant pas coplanaires, P 1 n’est pas parallèle à
P 2 ; ainsi, leur intersection est bien réduite à la droite .
Afin de déterminer des équations cartésiennes de ces plans, il suffira de trouver un
point et un vecteur normal pour chacun.
Commençons par déterminer un point et un vecteur normal à chacun de ces plans.
• Les droites et D 1 étant sécantes mais non confondues, il existe un
unique plan P 1 qui les contient toutes les deux.
De plus, B 1 ∈ P 1 car, par définition, B 1 est élément à la fois de et D 1 .
Enfin, un vecteur normal à P 1 est en particulier normal à et D 1 , donc
orthogonal à
v et
u 1 , donc colinéaire à
v ∧ ∧
u 1 .
Or
v ∧ ∧
u 1 = 2 i + 2 j − 2
k.
Le vecteur
u 2 est non nul et colinéaire au vecteur précédent donc est normal à P 1 .
• De même les droites et D 2 sont sécantes mais non confondues donc il
existe un unique plan P 2 qui les contient toutes les deux.
De plus, par définition, B 2 ∈ P 2 .
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Partie 1 • Première période
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