Il y a quatre inconnues mais seulement trois équations : il n’est pas possible de
résoudre ce système.
De même, soit B 2 le point d’intersection de D 2 et et (x 2 ,y 2 ,z 2 ) ses coordonnées.
Le vecteur
−−→
A 2 B 2 étant colinéaire à
u 2 il existe un réel µ tel que
−−→
A 2 B 2 = µ u 2 soit :
(x 2 − 3) i + (y 2 − 2) j + (z 2 + 1)
k = µ( i + j −
k)
d’où l’on tire le système
x 2 − 3 = µ
y 2 − 2 = µ
z 2 + 1 = −µ
On a
−−→
B 1 B 2 = (x 2 − x 1 ) i + (y 2 − y 1 ) j + (z 2 − z 1 )
k . On peut désormais exprimer
ce vecteur en fonction uniquement de λ et µ, puis écrire qu’il est colinéaire à
v :
ceci permettra de déterminer λ et µ, puis les coordonnées des points B 1 et B 2 .
On a donc
−−→
B 1 B 2 = (−λ + µ + 2) i + µ j + (−λ − µ − 1)
k.
Ce vecteur étant colinéaire à
v = − i + 2 j +
k il existe un réel α tel que
−−→
B 1 B 2 = α v , d’où un dernier système :
−λ + µ + 2 = −α
µ = 2α
−λ − µ − 1 = α
que l’on peut résoudre sans problème : on obtient
α = −1/2
λ = 1/2
µ = −1
d’où les coordonnées de B 1 : (3/2,2,1/2) et de B 2 : (2,1,0) .
Nous avons fait un peu mieux que ce qui était demandé : nous avons simultanément trouvé deux points de , bien qu’un seul aurait suffit.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 4 • Géométrie
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