1. Donner un point et un vecteur directeur de .
2. Déterminer une représentation paramétrique de .
3. Donner un système d’équations cartésiennes de .
D’après le cours, deux droites non parallèles de l’espace possèdent une unique perpendiculaire commune : nous commencerons donc par vérifier que D 1 et D 2 ne sont
pas parallèles, même si ce n’est pas explicitement demandé par l’exercice.
De plus, le cours va plus loin : non seulement il affirme l’existence de cette perpendiculaire commune mais également qu’elle est dirigée par le produit vectoriel
u 1 ∧ ∧
u 2 ; la moitié de la première question est donc résolue !
1. Pour montrer que les droites ne sont pas parallèles il suffit de montrer que les vecteurs
u 1 et
u 2 ne sont pas colinéaires ; le meilleur moyen de le faire est de calculer
leur produit vectoriel : non seulement sa nullité caractérise la colinéarité des vecteurs mais en plus ce vecteur dirige : nous allons ainsi faire d’une pierre deux
coups.
Soit
v = =
u 1 ∧ ∧
u 2 . Alors :
v = − i + 2 j +
k .
v = /
0 donc les droites D 1 et D 2 ne sont pas parallèles : elles possèdent
donc bien une unique perpendiculaire commune qui est, de plus, dirigée par
v.
Il faut désormais déterminer un point de .
Pour cela, n’oublions pas que coupe D 1 et D 2 : on cherchera donc plutôt directement le point d’intersection de et D 1 .
Si on le note B 1 , on sait qu’alors
−−→
A 1 B 1 est colinéaire à
u 1 ; ceci ne suffit pas à
déterminer le point B 1 .
De manière analogue, en notant B 2 le point commun à et B 2 , on aura
−−→
A 2 B 2 colinéaire à
u 2 .
Pour conclure, il ne restera plus qu’à écrire que
−−→
B 1 B 2 est colinéaire à
v.
Soit B 1 le point commun à D 1 et ; on note (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ses coordonnées.
Alors le vecteur
−−→
A 1 B 1 est colinéaire à
u 1 : il existe un réel λ tel que
−−→
A 1 B 1 = λ u 1 , i.e. (x 1 − 1) i + (y 1 − 2) j + z 1
k = λ( i +
k) , ce qui fournit
le système
x 1 − 1 = λ
y 1 − 2 = 0
z 1 = λ
dont les inconnues sont λ et les trois coordonnées de B 1 .
76
Partie 1 • Première période
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2. Déterminer une représentation paramétrique de .
3. Donner un système d’équations cartésiennes de .
D’après le cours, deux droites non parallèles de l’espace possèdent une unique perpendiculaire commune : nous commencerons donc par vérifier que D 1 et D 2 ne sont
pas parallèles, même si ce n’est pas explicitement demandé par l’exercice.
De plus, le cours va plus loin : non seulement il affirme l’existence de cette perpendiculaire commune mais également qu’elle est dirigée par le produit vectoriel
u 1 ∧ ∧
u 2 ; la moitié de la première question est donc résolue !
1. Pour montrer que les droites ne sont pas parallèles il suffit de montrer que les vecteurs
u 1 et
u 2 ne sont pas colinéaires ; le meilleur moyen de le faire est de calculer
leur produit vectoriel : non seulement sa nullité caractérise la colinéarité des vecteurs mais en plus ce vecteur dirige : nous allons ainsi faire d’une pierre deux
coups.
Soit
v = =
u 1 ∧ ∧
u 2 . Alors :
v = − i + 2 j +
k .
v = /
0 donc les droites D 1 et D 2 ne sont pas parallèles : elles possèdent
donc bien une unique perpendiculaire commune qui est, de plus, dirigée par
v.
Il faut désormais déterminer un point de .
Pour cela, n’oublions pas que coupe D 1 et D 2 : on cherchera donc plutôt directement le point d’intersection de et D 1 .
Si on le note B 1 , on sait qu’alors
−−→
A 1 B 1 est colinéaire à
u 1 ; ceci ne suffit pas à
déterminer le point B 1 .
De manière analogue, en notant B 2 le point commun à et B 2 , on aura
−−→
A 2 B 2 colinéaire à
u 2 .
Pour conclure, il ne restera plus qu’à écrire que
−−→
B 1 B 2 est colinéaire à
v.
Soit B 1 le point commun à D 1 et ; on note (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ses coordonnées.
Alors le vecteur
−−→
A 1 B 1 est colinéaire à
u 1 : il existe un réel λ tel que
−−→
A 1 B 1 = λ u 1 , i.e. (x 1 − 1) i + (y 1 − 2) j + z 1
k = λ( i +
k) , ce qui fournit
le système
x 1 − 1 = λ
y 1 − 2 = 0
z 1 = λ
dont les inconnues sont λ et les trois coordonnées de B 1 .
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Partie 1 • Première période
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