3. Un vecteur directeur de D est orthogonal aux vecteurs normaux à P 1 et P 2 donc
est colinéaire à leur produit vectoriel.
On a :
n 1 ∧ ∧
n 2 = 2 i + 7 j + 8
k.
Ce vecteur n’étant pas nul, les plans P 1 et P 2 ne sont pas parallèles et se
coupent donc selon une droite, ce qui justifie la question.
De plus, tout vecteur normal à P 1 ou à P 2 est normal à D : un vecteur directeur de D est donc colinéaire au vecteur précédemment calculé ; en particulier, 2 i + 7 j + 8
k lui-même dirige D.
Encore une fois, on demande un point quelconque d’un ensemble donné : on peut
donc le chercher sous une forme simple et, si on trouve un point convenant, se
contenter de la parachuter (la vérification étant immédiate).
Si M(x,y,z) appartient à D, il appartient à P 1 et P 2 donc 3x − 2y + z = 1 et
x + 2y − 2z = 3.
Si on le cherche tel que x = 0, on a alors −2y + z = 1 et 2y − 2z = 3 : en additionnant il vient z = −4 puis y = −5/2.
Si l’on avait aboutit à une contradiction, on aurait ainsi démontré qu’aucun point de
première coordonnée non nulle n’était dans D ; on aurait alors pu essayer y = 0 ou
x = 1… N’oublions pas que l’on ne cherche pas à déterminer tous les points de D
mais seulement l’un quelconque d’entre eux : tout est permis du moment que cela
permet d’en trouver un !
Bien sûr ce genre de recherche n’a sa place qu’au brouillon.
Un point M(x,y,z) appartient à D = P 1 ∩ P 2 si, et seulement si :
3x − 2y + z = 1
x + 2y − 2z = 3
On vérifie aisément que le point de coordonnées (0,−5/2,−4) convient.
Exercice 4.7 : Perpendiculaire commune
Soit E l’espace et (0, i, j,
k) un repère orthonormé direct.
Soit D 1 la droite passant par le point A 1 de coordonnées (1,2,0) et dirigée par le
vecteur
u 1 = i +
k .
Soit D 2 la droite passant par le point A 2 de coordonnées (3,2,−1) et dirigée par
le vecteur
u 2 = i + j −
k .
Soit la droite perpendiculaire commune à D 1 et D 2 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 4 • Géométrie
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est colinéaire à leur produit vectoriel.
On a :
n 1 ∧ ∧
n 2 = 2 i + 7 j + 8
k.
Ce vecteur n’étant pas nul, les plans P 1 et P 2 ne sont pas parallèles et se
coupent donc selon une droite, ce qui justifie la question.
De plus, tout vecteur normal à P 1 ou à P 2 est normal à D : un vecteur directeur de D est donc colinéaire au vecteur précédemment calculé ; en particulier, 2 i + 7 j + 8
k lui-même dirige D.
Encore une fois, on demande un point quelconque d’un ensemble donné : on peut
donc le chercher sous une forme simple et, si on trouve un point convenant, se
contenter de la parachuter (la vérification étant immédiate).
Si M(x,y,z) appartient à D, il appartient à P 1 et P 2 donc 3x − 2y + z = 1 et
x + 2y − 2z = 3.
Si on le cherche tel que x = 0, on a alors −2y + z = 1 et 2y − 2z = 3 : en additionnant il vient z = −4 puis y = −5/2.
Si l’on avait aboutit à une contradiction, on aurait ainsi démontré qu’aucun point de
première coordonnée non nulle n’était dans D ; on aurait alors pu essayer y = 0 ou
x = 1… N’oublions pas que l’on ne cherche pas à déterminer tous les points de D
mais seulement l’un quelconque d’entre eux : tout est permis du moment que cela
permet d’en trouver un !
Bien sûr ce genre de recherche n’a sa place qu’au brouillon.
Un point M(x,y,z) appartient à D = P 1 ∩ P 2 si, et seulement si :
3x − 2y + z = 1
x + 2y − 2z = 3
On vérifie aisément que le point de coordonnées (0,−5/2,−4) convient.
Exercice 4.7 : Perpendiculaire commune
Soit E l’espace et (0, i, j,
k) un repère orthonormé direct.
Soit D 1 la droite passant par le point A 1 de coordonnées (1,2,0) et dirigée par le
vecteur
u 1 = i +
k .
Soit D 2 la droite passant par le point A 2 de coordonnées (3,2,−1) et dirigée par
le vecteur
u 2 = i + j −
k .
Soit la droite perpendiculaire commune à D 1 et D 2 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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