5. Numériquement on trouve
AG B = 109 ◦ 28 a une minute d’angle près par défaut.
On retrouve un résultat de la théorie VSEPR : il s’agit de l’angle entre les liaisons
d’une molécule de type AX n E m pour n + m = 4.
Attention aux applications numériques concernant les angles : il ne faut pas
mélanger les radians et les degrés et donc vérifier avant tout calcul le réglage de
votre calculatrice.
Exercice 4.6 : Plans dans l’espace
Dans l’espace E muni d’un repère orthonormé direct (0, i, j,
k) on considère deux
plans :
P 1 , d’équation cartésienne 3x − 2y + z = 1 ;
P 2 , passant par le point A 2 de coordonnées (1,2,1) et de vecteur normal
n 2 = i + 2 j − 2
k .
1. Déterminer un point A 1 de P 1 et un vecteur normal
n 1 à ce plan.
2. Déterminer une équation cartésienne de P 2 .
3. Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite D = P 1 ∩ P 2 .
1. On demande un point absolument quelconque de P 1 : on peut le chercher par
tâtonnements. Quant au vecteur normal, d’après le cours, ses coordonnées sont les
coefficients des inconnues de l’équation.
Soient (x 1 ,y 1 ,z 1 ) les coordonnées du point A 1 cherché : alors 3x 1 − 2y 1 + z 1 = 1.
On peut chercher un tel point avec une ou plusieurs coordonnées nulles. Par
exemple, on voit qu’on peut prendre x 1 = y 1 = 0 et z 1 = 1.
Le point A 1 de coordonnées (0,0,1) est élément de P 1 .
De plus, d’après le cours, le vecteur
n 1 = 3 i − 2 j +
k est normal à P 1 .
2. Une équation cartésienne s’obtient en traduisant la définition du vecteur normal
à l’aide d’un produit scalaire.
Un point M(x,y,z) est élément de P 2 si, et seulement si,
−−→
A 2 M · ·
n 2 = 0,
i.e. :
(x − 1) + 2(y − 2) − 2(z − 1) = 0
ou encore :
x + 2y − 2z = 3
qui est l’équation cherchée.
74
Partie 1 • Première période
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AG B = 109 ◦ 28 a une minute d’angle près par défaut.
On retrouve un résultat de la théorie VSEPR : il s’agit de l’angle entre les liaisons
d’une molécule de type AX n E m pour n + m = 4.
Attention aux applications numériques concernant les angles : il ne faut pas
mélanger les radians et les degrés et donc vérifier avant tout calcul le réglage de
votre calculatrice.
Exercice 4.6 : Plans dans l’espace
Dans l’espace E muni d’un repère orthonormé direct (0, i, j,
k) on considère deux
plans :
P 1 , d’équation cartésienne 3x − 2y + z = 1 ;
P 2 , passant par le point A 2 de coordonnées (1,2,1) et de vecteur normal
n 2 = i + 2 j − 2
k .
1. Déterminer un point A 1 de P 1 et un vecteur normal
n 1 à ce plan.
2. Déterminer une équation cartésienne de P 2 .
3. Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite D = P 1 ∩ P 2 .
1. On demande un point absolument quelconque de P 1 : on peut le chercher par
tâtonnements. Quant au vecteur normal, d’après le cours, ses coordonnées sont les
coefficients des inconnues de l’équation.
Soient (x 1 ,y 1 ,z 1 ) les coordonnées du point A 1 cherché : alors 3x 1 − 2y 1 + z 1 = 1.
On peut chercher un tel point avec une ou plusieurs coordonnées nulles. Par
exemple, on voit qu’on peut prendre x 1 = y 1 = 0 et z 1 = 1.
Le point A 1 de coordonnées (0,0,1) est élément de P 1 .
De plus, d’après le cours, le vecteur
n 1 = 3 i − 2 j +
k est normal à P 1 .
2. Une équation cartésienne s’obtient en traduisant la définition du vecteur normal
à l’aide d’un produit scalaire.
Un point M(x,y,z) est élément de P 2 si, et seulement si,
−−→
A 2 M · ·
n 2 = 0,
i.e. :
(x − 1) + 2(y − 2) − 2(z − 1) = 0
ou encore :
x + 2y − 2z = 3
qui est l’équation cherchée.
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Partie 1 • Première période
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