Soit
n 2 un vecteur normal à P 2 : il est également normal à et D 2 donc
orthogonal à
v et
u 2 , i.e. colinéaire à
v ∧ ∧
u 2 .
Or
v ∧ ∧
u 2 = −3( i +
k).
On a donc
u 1 normal à P 2 .
Pour déterminer des équations cartésiennes de ces plans, n’oublions pas qu’ils sont
définis à l’aide de vecteurs normaux : l’outil adapté est donc le produit scalaire.
Un point M(x,y,z) appartient à P 1 si, et seulement si,
−−→
B 1 M · ·
u 2 = 0, i.e. :
(x − 3/2) + (y − 2) − (z − 1/2) = 0
ou encore :
x + y − z = 3.
De même, M appartient à P 2 si, et seulement si,
−−→
B 2 M · ·
u 1 = 0, soit :
x + z = 2.
Un système d’équations cartésiennes de est donc :
x + y − z = 3
x + z = 2
Il est facile de vérifier ce résultat : les coordonnées de B 1 vérifient bien ce système, celles de B 2 également.
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Chapitre 4 • Géométrie
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