Exercice 4.4 : Cercle d’Euler
Cet exercice utilise le résultat de l’exercice 4.3. On garde les mêmes notations.
Soient A , B et C les milieux respectifs des côtés BC, C A et AB.
Soit le cercle circonscrit au triangle A B C et son centre.
1. Montrer que l’isobarycentre de A B C est G.
2. Montrer que son orthocentre est O.
3. En appliquant les résultats des questions concernant la droite d’Euler au
triangle A B C montrer que est le milieu de [O H].
4. Soit H A le pied de la hauteur de ABC issue de A, i.e. le point de (BC) par
lequel passe cette hauteur. On définit de manière analogue H B et H C .
En appliquant le théorème de Thalès au quadrilatère H A H O A montrer que H A
est sur .
Soit K A (resp. K B , K C ) le milieu de [AH] (resp. [B H], [C H]). Soit le centre
du cercle circonscrit au triangle K A K B K C , G son isobarycentre et H son orthocentre.
5. Montrer que H = H.
6. Montrer que
− − →
H G
=
1
2
−→
H G.
7. En utilisant le résultat sur la droite d’Euler appliqué au triangle K A K B K C
montrer que = .
8. Montrer que
−−→
K A = −
−→
A
.
9. Montrer que les neufs points A , B , C , H A , H B , H C , K A , K B et K C sont
cocycliques.
1. La définition de G fait intervenir A, B et C ; il reste à utiliser la relation de
Chasles pour éliminer ces trois points et les remplacer par A , B et C .
On a successivement :
0 =
− →
G A +
− →
G B +
− →
GC
=
− − →
G B
+
− − →
GC
+
− − →
G A
+
−→
B
A +
−→
C
B +
−→
A
C
=
− − →
G B
+
− − →
GC
+
− − →
G A
+
1
2
(
− →
C A +
− →
AB +
− →
BC)
=
− − →
G B
+
− − →
GC
+
− − →
G A
ce qui montre que G est l’isobarycentre de A B C .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 4 • Géométrie
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