2. O est l’intersection des médiatrices de ABC et on souhaite montrer que c’est l’intersection des hauteurs de A B C .
Les points A , B et C étant les milieux des côtés de ABC ces triangles sont semblables : le théorème de Thalès est donc bien adapté à la question.
D’après le théorème de Thalès, (B C ) est parallèle à (BC). La médiatrice
de ABC passant par A est donc orthogonale à (B C ) . De plus, elle passe
par A , donc c’est aussi la hauteur de A B C issue de A . Idem pour les
autres médiatrices de ABC : ce sont les hauteurs de A B C , ce qui montre
que l’orthocentre de ce dernier est O.
3. Tout est dans l’intitulé de la question !
On a donc, d’après la propriété de la droite d’Euler du triangle A B C ,
−→
O = 3
−→
G . Or
−→
G =
−→
O +
−→
OG et
−→
OG =
1
3
−→
OH d’où −2
−→
O =
−→
OH
ou encore
−→
O =
1
2
−→
OH : est donc le milieu de [OH ].
4. L’énoncé donne la méthode : utiliser le théorème de Thalès. Il faudra donc utiliser des propriétés de parallélisme ; on voit par exemple que les droites (H A H ) et
(O A ), dont il est question dans l’énoncé, sont parallèles...
Il suffit de le faire pour H A , un raisonnement analogue donnant le résultat
pour H B et H C .
Soit I le milieu de [H A A ]. Consisérons le quadrilatère H A H O A . Les côtés
[H A H ] et [O A ] sont tous deux orthogonaux au côté [H A A ] donc sont
parallèles. De plus, I étant le milieu de [H A A ] et celui de [O H], la droite ((I ) est parallèle à (H A H ) et (O A ), donc orthogonale au côté
[H A A ]. Cette droite, qui est par définition la médiane de H A A issue de
, en est donc également une médiatrice. Le triangle H A A est donc isocèle en , donc H A = A . H A est donc sur le cercle de centre et de
rayon A , i.e. H A ∈ .
5. Il suffit de montrer que K A K B K C a les mêmes hauteurs que ABC.
La hauteur de ABC issue de A passe par H, donc par K A . De plus, dans le
triangle H BC, K B est le milieu de H B et K C celui de HC ; d’après le
théorème de Thalès, (K B K C ) et (BC) sont parallèles. La hauteur de ABC
issue de A étant orthogonale à (BC), elle l’est donc aussi à (K B K C ). Ceci
montre que cette hauteur de ABC est aussi la hauteur de K A K B K C issue
de K A . Il en va clairement de même pour les autres hauteurs. On a donc
H = H.
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Partie 1 • Première période
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Les points A , B et C étant les milieux des côtés de ABC ces triangles sont semblables : le théorème de Thalès est donc bien adapté à la question.
D’après le théorème de Thalès, (B C ) est parallèle à (BC). La médiatrice
de ABC passant par A est donc orthogonale à (B C ) . De plus, elle passe
par A , donc c’est aussi la hauteur de A B C issue de A . Idem pour les
autres médiatrices de ABC : ce sont les hauteurs de A B C , ce qui montre
que l’orthocentre de ce dernier est O.
3. Tout est dans l’intitulé de la question !
On a donc, d’après la propriété de la droite d’Euler du triangle A B C ,
−→
O = 3
−→
G . Or
−→
G =
−→
O +
−→
OG et
−→
OG =
1
3
−→
OH d’où −2
−→
O =
−→
OH
ou encore
−→
O =
1
2
−→
OH : est donc le milieu de [OH ].
4. L’énoncé donne la méthode : utiliser le théorème de Thalès. Il faudra donc utiliser des propriétés de parallélisme ; on voit par exemple que les droites (H A H ) et
(O A ), dont il est question dans l’énoncé, sont parallèles...
Il suffit de le faire pour H A , un raisonnement analogue donnant le résultat
pour H B et H C .
Soit I le milieu de [H A A ]. Consisérons le quadrilatère H A H O A . Les côtés
[H A H ] et [O A ] sont tous deux orthogonaux au côté [H A A ] donc sont
parallèles. De plus, I étant le milieu de [H A A ] et celui de [O H], la droite ((I ) est parallèle à (H A H ) et (O A ), donc orthogonale au côté
[H A A ]. Cette droite, qui est par définition la médiane de H A A issue de
, en est donc également une médiatrice. Le triangle H A A est donc isocèle en , donc H A = A . H A est donc sur le cercle de centre et de
rayon A , i.e. H A ∈ .
5. Il suffit de montrer que K A K B K C a les mêmes hauteurs que ABC.
La hauteur de ABC issue de A passe par H, donc par K A . De plus, dans le
triangle H BC, K B est le milieu de H B et K C celui de HC ; d’après le
théorème de Thalès, (K B K C ) et (BC) sont parallèles. La hauteur de ABC
issue de A étant orthogonale à (BC), elle l’est donc aussi à (K B K C ). Ceci
montre que cette hauteur de ABC est aussi la hauteur de K A K B K C issue
de K A . Il en va clairement de même pour les autres hauteurs. On a donc
H = H.
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