Ainsi,
(
−→
O A +
−→
O B) ·
− →
AB = 0.
Avec
−→
O B =
−→
O A +
− →
AB on en déduit :
−→
O A ·
− →
AB = −
AB 2
2
.
4. Les questions précédentes font intervenir un certain nombre de vecteurs qui ne
sont pas ceux qui apparaissent ici : la relation de Chasles s’impose.
On a, en introduisant le point C :
−→
O H ·
− →
AB =
−→
OC ·
− →
AB +
−→
C H ·
− →
AB
=
−→
OC ·
− →
AB.
D’autre part, en introduisant A :
−→
OG ·
− →
AB =
−→
O A ·
− →
AB +
− →
AG ·
− →
AB
=
−→
O A ·
− →
AB +
1
3
(
− →
AB +
− →
AC) ·
− →
AB
On en déduit
(
−→
O H − 3
−→
OG) ·
− →
AB = (
−→
OC − 3
−→
O A −
− →
AB −
− →
AC) ·
− →
AB
= (−2
−→
O A −
− →
AB) ·
− →
AB
et enfin :
(
−→
O H − 3
−→
OG) ·
− →
AB = −2
−→
O A ·
− →
AB − AB
2
= 0
car
−→
O A ·
− →
AB = −
AB 2
2
.
On montre de même que (
−→
O H − 3
−→
OG) ·
− →
AC = 0 .
5. Comme souvent pour la dernière question tout a été fait avant !
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 4 • Géométrie
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