Faire une bonne figure est toujours intéressant en géométrie ; cependant, il faut bien
prendre garde à ne pas faire de figure trop particulière.
Plus précisément, aucune hypothèse n’est faite sur le triangle : il n’est supposé ni
rectangle, ni isocèle (ni, a fortiori, équilatéral). Il faudra donc faire une figure avec
un triangle le plus quelconque possible afin de ne pas être abusé par des propriétés spécifiques de ces triangles remarquables.
Un dernier conseil : dessinez un triangle acutangle, i.e. sans angle obtus : ainsi vous
serez certain que l’orthocentre est à l’intérieur du triangle. Quand un angle est obtus
l’orthocentre est en dehors, ce qui n’est pas un problème en soi, mais il peut se trouver tellement loin qu’il sort de la feuille !
1. Par définition, une hauteur issue d’un sommet est orthogonale au côté opposé.
B et H sont sur la hauteur de ABC issue de B, donc
−→
B H est orthogonal
à
− →
AC . Idem en échangeant les rôles de A, B et C : les trois produits scalaires donnés sont donc nuls.
2. La définition du barycentre fait intervenir les vecteurs
− →
GA ,
− →
GB et
− →
GC ; pour éliminer les deux derniers, on peut utiliser la relation de Chasles en introduisant le
point A.
Par définition,
− →
G A +
− →
G B +
− →
GC =
0.
En introduisant le point A la relation de Chasles donne
3
− →
G A +
− →
AB +
− →
AC =
0
soit
− →
AG =
1
3
(
− →
AB +
− →
AC).
3. Rappelons que, par définition, O est équidistant de A, B et C.
O est le centre du cercle circonscrit à ABC donc O A = O B = OC : le triangle O AB est donc isocèle en O.
Le vecteur
−→
O A +
−→
O B dirige la médiane de OAB issue de O ; or cette
médiane est une médiatrice, puisque le triangle est isocèle en O, donc
orthogonale à (AB).
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Partie 1 • Première période
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prendre garde à ne pas faire de figure trop particulière.
Plus précisément, aucune hypothèse n’est faite sur le triangle : il n’est supposé ni
rectangle, ni isocèle (ni, a fortiori, équilatéral). Il faudra donc faire une figure avec
un triangle le plus quelconque possible afin de ne pas être abusé par des propriétés spécifiques de ces triangles remarquables.
Un dernier conseil : dessinez un triangle acutangle, i.e. sans angle obtus : ainsi vous
serez certain que l’orthocentre est à l’intérieur du triangle. Quand un angle est obtus
l’orthocentre est en dehors, ce qui n’est pas un problème en soi, mais il peut se trouver tellement loin qu’il sort de la feuille !
1. Par définition, une hauteur issue d’un sommet est orthogonale au côté opposé.
B et H sont sur la hauteur de ABC issue de B, donc
−→
B H est orthogonal
à
− →
AC . Idem en échangeant les rôles de A, B et C : les trois produits scalaires donnés sont donc nuls.
2. La définition du barycentre fait intervenir les vecteurs
− →
GA ,
− →
GB et
− →
GC ; pour éliminer les deux derniers, on peut utiliser la relation de Chasles en introduisant le
point A.
Par définition,
− →
G A +
− →
G B +
− →
GC =
0.
En introduisant le point A la relation de Chasles donne
3
− →
G A +
− →
AB +
− →
AC =
0
soit
− →
AG =
1
3
(
− →
AB +
− →
AC).
3. Rappelons que, par définition, O est équidistant de A, B et C.
O est le centre du cercle circonscrit à ABC donc O A = O B = OC : le triangle O AB est donc isocèle en O.
Le vecteur
−→
O A +
−→
O B dirige la médiane de OAB issue de O ; or cette
médiane est une médiatrice, puisque le triangle est isocèle en O, donc
orthogonale à (AB).
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