Or

  
  
−a + b + c = 2( p − a)
a − b + c = 2( p − b)
a + b − c = 2( p − c)
a + b + c = 2 p
d’où, en réorganisant les termes :
16S
2
= 16 p( p − a)( p − b)( p − c).
Encore une fois la formule est homogène, chaque membre ayant la dimension
d’une longueur à la puissance quatre.
Exercice 4.3 : Droite d’Euler
Soit ABC un triangle non aplati, O le centre de son cercle circonscrit, H son
orthocentre et G son isobarycentre. Le but de cet exercice est de montrer que O,
G et H sont alignés. Quand ces trois points ne sont pas confondus (i.e. quand le
triangle n’est pas équilatéral) la droite qui les porte s’appelle la droite d’Euler du
triangle ABC.
On rappelle que, si
u et
v sont deux vecteurs non colinéaires du plan, et qu’un
vecteur
w vérifie
w · ·
u = =
w · ·
v = 0, alors
w =
0.
1. Que valent
−→
B H ·
− →
AC ,
−→
C H ·
− →
AB et
−→
AH ·
− →
BC ?
2. Montrer que
− →
AG =
1
3
(
− →
AB +
− →
AC) .
3. Quelle est la nature du triangle O AB ? En déduire la valeur de (
− →
OA +
− →
OB) ·
− →
AB ,
puis celle de
− →
OA ·
− →
AB.
4. À l’aide des questions précédentes, calculer les produits scalaires de
(
−→
OH − 3
− →
OG) avec
− →
AB puis avec
− →
AC .
5. Montrer que O, G et H sont alignés et préciser leurs positions relatives.
Une figure complète se trouve à la fin de la correction. Vous pouvez bien sûr vous
y référer pour mieux visualiser l’exercice et le résoudre mais la meilleure chose à
faire est bien sûr de réaliser vous-même cette figure.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 4 • Géométrie
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