On rappelle la formule d’Al-Kâshi :
a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos( ˆ
A).
On en déduit :
16S 2 = 4b 2 c 2 − 4b 2 c 2 cos 2 ( ˆ
A)
= 4b 2 c 2 − (a 2 − (b 2 + c 2 )) 2 .
3. Les identités remarquables à reconnaître sont visiblement des différences de carrés ; de plus, on voit qu’il y a des termes croisés (i.e. faisant intervenir un produit
de deux paramètres), les formules de développement de carrés de sommes ou de différences pourront donc également intervenir.
On reconnaît une différence de carrés :
4b 2 c 2 − (a 2 − (b 2 + c 2 )) 2 = (2bc + (a 2 − (b 2 + c 2 )))
× (2bc − (a 2 − (b 2 + c 2 )))
= (a 2 − b 2 + 2bc − c 2 )
× (−a 2 + b 2 + 2bc + c 2 ).
Chaque terme est lui-même un développement de carré :
(b − c)
2
= b
2
− 2bc + c
2
et
(b + c)
2
= b
2
+ 2bc + c
2
.
On a donc
16S
2
= (a
2
− (b − c)
2
)(−a
2
+ (b + c)
2
).
On reconnaît enfin dans chaque facteur une différence de carrés :
(a
2
− (b − c)
2
) = (a − (b − c))(a + (b − c))
(−a
2
+ (b + c)
2
) = ((b + c) + a)((b + c) − a)
soit :
16S
2
= (a − b + c)(a + b − c)(a + b + c)(−a + b + c).
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Partie 1 • Première période
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