4Rr(a + b + c)/2 = abc
soit
2Rr =
abc
a + b + c
.
Raisonnons un instant en termes physiques : les lettres a, b, c, R et r désignent
des longueurs et S une aire. On constate que toutes les formules ci-dessus sont
bien homogènes !
Mieux encore : les lettres a, b et c jouent des rôles identiques dans le problème
car les permuter revient à changer les noms des côtés mais ne modifie pas R, r ni
S ; on constate que les formules obtenues sont bien, elles aussi, invariantes par
permutation de a, b et c.
Exercice 4.2 : Formule de Héron
On garde les notations de l’exercice précédent.
1. Montrer que 4S 2 = b 2 c 2 (1 − cos 2 ( ˆ
A)).
2. Exprimer 16S 2 en fonction de a, b et c (sans fonction trigonométrique).
3. En reconnaissant des identités remarquables, montrer que
S
2
= p( p − a)( p − b)( p − c) (formule de Héron).
1. Dans l’exercice 4.1 nous avions un résultat presque identique : il y avait un sinus
mais pas de carrés... Nous allons donc reprendre la formule reliant S, b, c et sin( ˆ
A)
et l’élever au carré.
On reprend l’expression de S donnée ci-dessus :
S =
1
2
bc sin( ˆ
A)
d’où
4S 2 = b 2 c 2 sin
2
( ˆ
A)
= b 2 c 2 (1 − cos 2 ( ˆ
A)).
2. Une formule permet de faire disparaître le cosinus pour n’avoir plus que les longueurs des côtés : c’est la formule d’Al-Kâshi.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 4 • Géométrie
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