2. Les hauteurs des petits triangles I AB, I BC et I C A sont des rayons du cercle inscrit et ont donc pour longueur r. Quand aux bases de ces triangles, ce ne sont autres
que les côtés du grand triangle ABC. On peut alors calculer les aires de tous ces
triangles.
La hauteur issue de I du triangle I AB a pour longueur r (car (AB) est tangente au cercle inscrit) et le côté opposé est c ; son aire est donc rc/2.
De même, l’aire de I BC est ra/2 et celle de I C A est rb/2.
Or l’aire du triangle ABC est la somme des aires de ces trois triangles : on
a donc
S = r(a + b + c)/2
soit encore
2S = r(a + b + c).
Graphiquement, avec les bissectrices en pointillés :
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Partie 1 • Première période
A
I
B
C
r
r
r
3. Vous avez établi deux formules contenant S, l’une contenant R et l’autre r ; on
vous demande une formule contenant R et r mais pas S. Il faut donc éliminer S
entre les deux relations.
On élimine S entre les deux relations précédentes : comme
4RS = abc et S = r(a + b + c)/2
on a, en remplaçant dans la première relation S par la valeur donnée dans
la seconde :
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