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Exercice 4.1 : Géométrie du triangle
Dans le plan on considère un triangle ABC de côtés a = BC, b = AC, c = AB.
On note ˆ
A (resp. ˆ
B, ˆ
C) l’angle non orienté au sommet A (resp. B, C). Soit S
l’aire de ABC. Enfin, on pose p =
a + b + c
2
(demi-périmètre de ABC).
1. Soit R le rayon du cercle circonsrit à ABC. Montrer que 4RS = abc.
2. Soit r le rayon du cercle inscrit dans ABC. En considérant les aires des triangles I AB, I BC et I C A, montrer que 2S = r(a + b + c).
3. Montrer que 2Rr =
abc
a + b + c
.
1. Une seule formule usuelle de géométrie fait intervenir R : c’est a = 2Rsin( ˆ
A).
Il faudra donc probablement s’en servir, mais cela introduira un sinus dans les
calculs.
Ainsi, nous chercherons à relier sin( ˆ
A) et S afin de faire apparaître S dans le résultat tout en éliminant sin( ˆ
A) .
La hauteur issue de B a pour longueur c sin( ˆ
A) (par définition du sinus).
On a donc
S =
1
2
bc sin( ˆ
A).
De plus, d’après le cours :
a = 2R sin( ˆ
A).
De ces deux relations on tire :
4RS = abc.
Géométrie
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