Cette fonction est de classe C ∞ sur R et un simple calcul montre que, quel que soit
x ∈ R, on a
g (x) = (iαx + (α + iβ))e i x
g (x) = (−αx + 2iα − β)e i x
et donc
g
(x) − 4g
(x) + 13g(x) = ((12α − 4iα)x + 12β − 4α + i(2α − 4β))e
i x
.
Par conséquent, la fonction g est solution de l’équation avec second membre S si,
et seulement si, on a
12α − 4iα = 12 − 4i
12β − 4α + i(2α − 4β) = 8 − 2i
Ces égalités sont vérifiées lorsque α = 1 et β = 1.
On en déduit que la fonction
x ∈ R → (x + 1)e
i x
est une solution particulière de l’équation avec second membre S et donc que la
fonction
x ∈ R → (x + 1) cos(x)
est une solution particulière de l’équation de départ.
• Finalement, l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation est
{x ∈ R → (x + 1) cos(x) + Ce
2x cos(3x) + De
2x sin(3x) | (C,D) ∈ R
2
}.
Exercice 3.5 : Équation du second ordre : racine double
Déterminer l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle
y
− 4y
+ 4y = 2 e
2x
.
• L’équation caractéristique est r 2 − 4r + 4 = 0 qui possède la racine double 2.
L’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation homogène est donc
{x ∈ R → (Ax + B)e
2x
| A,B ∈ R},
• Cherchons une solution particulière de l’équation avec second membre. Le second
membre est 2e
x = P(x)e x avec P le polynôme constant (i.e. de degré 0) valant 2.
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Partie 1 • Première période
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