Le coefficient de x dans l’exponentielle est 2 et est donc racine double de l’équation caractéristique. Ainsi, on cherche une solution particulière sous la forme
g : x → Q(x)e 2x avec Q de degré 2 de plus que celui de P, i.e. Q(x) =
a x 2 + b x + c .
Des calculs simples montrent que, pour tout réel x :
g (x) = (2a x 2 + (2a + 2b) x + (b + 2c))e 2x
g (x) = (4a x 2 + (8a + 4b) x + (2a + 4b + 4c))e 2x .
On obtient alors, en reportant dans l’équation complète et après simplification des
termes en x et x 2 : 2ae 2x = 2e 2x , d’où a = 1 ; aucune condition n’étant imposée
sur b et c on peut les choisir nuls, ce qui donne la solution particulière x → x 2 e 2x .
• Ainsi, l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation est
{x ∈ R → (x
2
+ Ax + B)e
2x
| A,B ∈ R}.
Si on n’avait pas pris garde au fait que 2 est racine double de l’équation caractéristique et qu’on avait donc cherché une solution particulière avec Q de degré 0
(i.e. constant) on aurait aboutit à 0 = 0… D’autre part, on voit que le choix de b
et c est sans importance : on peut toujours les inclure dans les constantes A et B
qui apparaissent dans l’expression des solutions de l’équation complète.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3 • Équations différentielles
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