• Déterminons, à présent, une solution particulière de l’équation avec second
membre.
Deux méthodes s’offrent à nous. La première consiste à chercher une solution sous
la forme
f : x ∈ R → (ax + b)cos(x) + (cx + d)sin(x),
avec (a,b,c,d) ∈ R 4 . On a alors :
f (x) = (cx + a + d) cos(x) + (−ax + c − b) sin(x)
f (x) = (−ax + 2c − b) cos(x) − (cx + 2a + d) sin(x)
et donc
f (x) − 4 f (x) + 13 f (x)
= ((12a − 4c)x − 4a + 12b + 2c − 4d) cos(x)
+((12c + 4a)x − 2a + 4b − 4c + 12d)sin(x).
Par conséquent, la fonction f est solution si, et seulement si, on a

 
 
12a − 4c = 12
12c + 4a = 4
−4a + 12b + 2c − 4d = 8
−2a + 4b − 4c + 12d = 2
Ces égalités sont vérifiées lorsque a = 1, b = 1, c = 0 et d = 0.
On en déduit que la fonction
x ∈ R → (x + 1) cos(x)
est une solution particulière de l’équation avec second membre.
• La seconde méthode consiste à considérer la fonction
s : x ∈ R → (12x + 8) cos(x) + (4x + 2) sin(x)
comme la partie réelle de la fonction
S : x ∈ R → ((12 − 4i)x + (8 − 2i))e
i x
.
Nous allons chercher une solution particulière de l’équation avec S au second
membre et en déduirons une solution particulière de l’équation de départ en prenant
sa partie réelle.
Considérons donc une fonction de la forme
g : x ∈ R → (αx + β)e
i x
,
avec α,β ∈ C.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3 • Équations différentielles
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